Verschiedene Zustandsraumdarstellungen für Auto-Regression und Kalman-Filter

Ich sehe, dass es verschiedene Möglichkeiten gibt, ein AR-Modell in eine Zustandsraumdarstellung zu schreiben, damit wir das Kalman-Filter anwenden können, um das Signal zu schätzen. Siehe Beispiel 1, 2 und 3 hier .

Ich frage mich, welche Unterschiede zwischen den verschiedenen Zustandsraumdarstellungen bei der Schätzung durch den Kalman-Filter bestehen.

Vielen Dank!

Ich weiß leider nicht viel über Kalman-Filter, aber ich denke, ich kann Ihnen beim State Space helfen.

In Beispiel 1 ist das AR-Modell genau Ihre gute alte rekursive DSP-Definition der Ausgabe:

$$y_t = \alpha + \phi_1y_{t-1} + \phi_2y_{t-2} + \eta_t$$

In diesem Fall schreiben wir das Zustandsraummodell in direkter Entsprechung mit der obigen Gleichung auf:

$$\begin{pmatrix}y_t \\ y_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\alpha \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

Beachten Sie, dass in diesem Fall die Zustände des Systems aktuelle und vorherige Werte der Ausgabe sind.

Im zweiten Beispiel trennen Sie Ihre Zustände von Ihren Ausgabewerten. Dies bedeutet, dass die Zustände jetzt alles sein können, obwohl sie immer noch direkt auf Ausgabewerte abgebildet werden. Auf diese Weise bekommen wir$c$

$$y_t = \mu + c_t$$

$$c_t = \phi_1c_{t-1} + \phi_2c_{t-2} + \eta_t$$

Und deshalb

$$\begin{pmatrix}c_t \\ c_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{t-1} \\ c_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

Sie sollten dies auch als Standard-Zustandsraumdarstellung eines linearen Systems erkennen, da Ihre Gleichungen für die Zustandsentwicklung und die zustandsabhängige Ausgabe zwei verschiedene Gleichungen sind . Diese Trennung ist im Fall eines AR-Modells trivial, aber diese letztere Notation ist, wie wir alle linearen Zustandsraummodelle im Allgemeinen betrachten.

Das dritte Beispiel ist merkwürdig. Wenn Sie alle Koeffizienten multiplizieren, werden Sie feststellen, dass dies tatsächlich dem ersten und dem zweiten Beispiel entspricht. Warum also? Ich stelle fest, dass Beispiel 2 (die richtige Zustandsraumdarstellung des Systems) die steuerbare kanonische Form dieses Systems heißt. Wenn Sie etwas lesen oder das System einfach sorgfältig analysieren, werden Sie feststellen, dass wir dieses System in einen beliebigen Zustand versetzen können, der gut verhaltene Werte für und mit der einzelnen Eingabe liefert . Daher nennen wir solche Systeme steuerbar , und es ist sehr leicht aus dieser Form der Zustandsraumgleichungen zu erkennen.ϕ 2$\phi_1$$\phi_2$$\alpha$

Sie sollten beachten, dass zwei lineare Systeme bis zu einem Basiswechsel identisch sein können. Dies bedeutet, dass wir eine andere Basis auswählen können, um dasselbe lineare System darzustellen. Sie können sich selbst davon überzeugen, dass wir genau das getan haben, um vom zweiten zum dritten Beispiel zu gelangen. Insbesondere möchten wir, dass diese lineare Transformation die Zustandsübergangsmatrix transponiert, so dass wir für einen unbekannten Zustand$\boldsymbol{s}$

$$y_t = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} \boldsymbol{\alpha_t}$$

$$\boldsymbol{\alpha_t} = \begin{pmatrix}s_t \\ s_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s_{t-1} \\ s_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\alpha \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

Jetzt können wir den Basiswechsel verwenden, um herauszufinden, wie dieser Zustand in Bezug auf state . Und wir können es so berechnen$\boldsymbol{s}$$\boldsymbol{y}$

$$\begin{pmatrix}s_t \\ s_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_t \\ \phi_2 y_{t-1}\end{pmatrix}$$

Diese Form (Transponierte der kanonischen Form der Kontrollierbarkeit) wird als kanonische Form der Beobachtbarkeit bezeichnet, da wir, wenn wir ein System in diese Form bringen können, leicht ableiten können, welche Zustände des Systems beobachtet werden können, indem wir einfach die Ausgabe betrachten. Eine Beschreibung der kanonischen Formen finden Sie in diesem Dokument und natürlich im Internet. Beachten Sie, dass im Dokument die Status auf den Kopf gestellt werden, was nichts an der Systemdarstellung ändert, indem Sie einfach die Zeilen / Spalten der Matrizen neu anordnen.

Kurz gesagt, alles hängt davon ab, was Sie abschätzen möchten, dh was Sie über das Signal wissen und was nicht. Der Kalman-Filter versucht, den Status basierend auf Ihrer Definition des Status zu schätzen . Das herkömmliche Problem ist, wenn wir versuchen, die AR-Koeffizienten zu schätzen.

Nehmen wir ein Beispiel eines -Modells ohne konstanten Term .$AR(2)$$\mu$

$$y_k = a_1y_{k-1} + a_2y_{k-2} + \eta_k$$

Um das obige System abzuschätzen, müssen Sie lediglich die AR-Koeffizienten und schätzen .$a_1$$a_2$

Allgemeine Einrichtung des Kalman Filter State Space:

$${\bf x}_{k} = {\bf F}_{k-1}{\bf x}_{k-1} + {\bf w}_k$$ $${\bf y}_{k} = {\bf H}_{k}{\bf x}_{k} + {\bf v}_k$$ ${\bf w}_k= WGN(0, Q^s)$ und${\bf v}_k= WGN(0, Q^o)$

In diesem Fall müssen wir und schätzen . Daher ist es natürlich, den Zustand als diese Koeffizienten festzulegen. In diesem Beispiel sind diese Koeffizienten konstant ( ) und es gibt auch kein Rauschen in diesen Koeffizienten -> .$a_1$$a_2$${\bf x}_k = [a_1, a_2]^T$${\bf F}_{k} ={\bf F}_{k-1} = {\bf I}$${\bf w}_k = {\bf 0} \implies Q^s = {\bf 0}$

Da wir nur beobachten , werden sie zu Messungen für unser System. Da wir bereits definiert haben, was der Zustandsvektor ist, damit unsere dem angegebenen AR-Modell entsprechen, ersetzen wir unser durch und .$y_k$${\bf v}_k$$\eta_k$${\bf H}_{k} = [y_{k-1}, y_{k-2}]$

y k = H k x k + η k = [ y k - 1 y k - 2 ] [ a 1 a 2 ] + η

$${\bf x}_{k} = {\bf x}_{k-1} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$$ $$y_k = {\bf H}_{k}{\bf x}_{k} + \eta_k = \begin{bmatrix} y_{k-1} & y_{k-2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} + \eta_k$$

Jetzt können Sie den Kalman-Filter verwenden, um Ihren Zustand und folglich Ihr Signal abzuschätzen.

Hinweis: Das einzig Seltsame hier ist, dass Ihre Matrix von Ihren Messungen abhängt . Einige Leute haben das Missverständnis, dass die Kalman-Gewinne und die Zustands-Kovarianz-Matrix immer messungsunabhängig sind und dass sie vorher berechnet werden können. Dieser Fall zeigt deutlich, dass dies nicht der Fall ist. Sowohl die Kalman-Verstärkung als auch die Zustands-Kovarianz-Matrix werden mit Funktionen von geschätzt , was in diesem Fall ist.y k H${\bf H}_k$$y_k$${\bf H}_k$