Was ist mit "spektralem Moment" gemeint?

10

Ich habe die allmächtigen Orakel von Google und Wiki konsultiert, aber ich kann anscheinend keine Definition für den Ausdruck "der Moment des Spektrums" finden.

Ein älterer Arbeitstext, den ich gerade lese, verwendet ihn auf folgende Weise und definiert die Anzahl der Nulldurchgänge pro Zeiteinheit wie folgt:

N_{0} = \frac{1}{π} {(\frac{m_{2}}{m_{0}})}^{1 / 2}

$N_0 = \frac1{\pi} \left(\frac{m_2}{m_0}\right)^{1/2}$

Anschließend wird die Anzahl der Extrema pro Zeiteinheit weiter definiert als:

N_{e} = \frac{1}{π} {(\frac{m_{4}}{m_{2}})}^{1 / 2}

$N_e = \frac{1}{\pi}\left(\frac{m_4}{m_2}\right)^{1/2}$

wo es schließlich heißt: "wo $m_i$ der $i$ te Moment des Spektrums ist."

Ist das schon mal jemandem begegnet? Was ist der "Moment" eines Spektrums? Ich habe noch nie in der DSP-Literatur davon gehört.

frequency-spectrum

— Spacey
quelle

Erwähnung Effiziente Berechnung von Spektralmomenten zur Bestimmung von Zufallsantwortstatistiken für Spektralmomente: "Spektralmomente werden aus der einseitigen PSD berechnet"

— Laurent Duval

1

Ich dachte, spektrale Momente wären das, was im Film Ghostbusters passiert ist! :-)

— Peter K.

9

Nehmen Sie durchgehend Tiefpasssignale an.

Da ist in der Regel komplex-wertigen, mit dem Leistungsspektrum ist wahrscheinlich eine bessere Idee, besonders wenn Sie danach Quadratwurzeln usw. ziehen möchten. Somit ist definiert als Es ist insbesondere zu beachten, dass die Leistung im Signal ist und $X(f)$ $|X(f)|^2$ $m_k$

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{k} | X (f) |^{2} d f .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty f^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

m_{0}

$m_0$

m_{1} = 0

$m_1 = 0$ Nun ist die Gabor-Bandbreite

eines Signals gegeben durch

G

$G$

Um dies in eine etwas andere Perspektive zu bringen,

ist eine nichtnegative Funktion und die "Fläche unter der Kurve

", d. H.

ist die Leistung im Signal. Daher

ist effektiv eineWahrscheinlichkeitsdichtefunktioneines Null-MittelZufallsvariablederen Varianz

G = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | X (f) |^{2} d f}} = \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{0}}} .

$G = \sqrt{\frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}.$

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$

m_{0}

$m_0$

| X (f) |^{2} / m_{0}

$|X(f)|^2/m_0$

.

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{2} \frac{| X (f) |^{2}}{m_{0}} d f = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | X (f) |^{2} d f} = G^{2}

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty f^2 \frac{|X(f)|^2}{m_0} \mathrm df = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df} = G^2$

Eine Sinuskurve der Frequenz Hz hat $G$ $2G = 2\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}$ $\omega$ $G$ $2\pi$

N_{0} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{0}}} zero crossings per second.

$N_0 = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} ~ \text{zero crossings per second.}$

$x(t)$ $j2\pi f X(f)$ $|2\pi f X(f)|^2$

\begin{aligned} G^{'} & = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | 2 π f X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} | 2 π f X (f) |^{2} d f}} \\ = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} f^{4} | X (f) |^{2} d f}{\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} | X (f) |^{2} d f}} \\ = \sqrt{\frac{m_{4}}{m_{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align*}G^\prime &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^4 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}. \end{align*}$

N_{e} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{m_{4}}{m_{2}}} extrema per second.

$N_e = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} ~ \text{extrema per second.}$

— Dilip Sarwate
quelle

Tolle Antwort Dilip ... aber "Gabor Bandwidth"? ... Ich habe noch nie davon gehört, und ich kann anscheinend keine Informationen darüber aus dem Internet erhalten - woher haben Sie die Formel? Und was soll es genau messen?

— Spacey

Vielen Dank für die PDF-Links - obwohl ich nicht glaube, dass sie funktionieren. Könnten Sie bitte überprüfen?

— Spacey

f

$f$

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} (2 π f)^{k} | X (f) |^{2} d f .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty (2\,\pi\,f)^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

m_{k}

$m_k$

2

Ich weiß nicht, dass ich diesen Begriff schon einmal gehört habe, aber ich würde den Begriff "Moment" so interpretieren, dass er eine analoge Bedeutung zu den physikalischen Konzepten des Massenschwerpunkts und des ersten und zweiten Momentes des Gebiets hat:

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} f^{k} X (f) d f

$m_k=\int_{-\infty}^{\infty} f^kX(f)\ df$

$k$

— Jason R.
quelle

1

$L$

ein Ausdruck, der das Produkt einer Entfernung und einer anderen physikalischen Größe beinhaltet und auf diese Weise berücksichtigt, wie die physikalische Größe lokalisiert oder angeordnet ist

$\alpha$ $g$ $D$ $c$

m_{g_{D}} (α, c) = \int_{D} (t - c)^{α} g (t) d t

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D (t-c)^\alpha g(t)d t$

m_{g_{D}} (α, c) = \int_{D} [t - c |^{α} g (t) d t

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D [t-c|^\alpha g(t)d t$

x

$x$

X (f)

$X(f)$

g (\cdot) = | X (\cdot) |^{2}

$g(\cdot) = |X(\cdot)|^2$

m_{α} = \int_{f \geq 0} f^{α} \frac{| X (f) |^{2}}{\int_{ν \geq 0} | X (ν) |^{2} d ν} d f

$m_\alpha = \int_{f\ge 0} f^\alpha \frac{|X(f)|^2}{\int_{\nu\ge 0} |X(\nu)|^2d\nu}df$

Siehe zum Beispiel: Effiziente Berechnung von Spektralmomenten zur Bestimmung von Zufallsantwortstatistiken für Spektralmomente: "Spektralmomente werden aus der einseitigen PSD berechnet".

$L$ $m_1/m_2$

— Laurent Duval
quelle