Wie finde ich die Impulsantwort eines Systems aus seiner Repräsentation des Zustandsraums unter Verwendung der Zustandsübergangsmatrix?

Angenommen, wir haben eine lineare Darstellung in der Standardnotation des Zustandsraums:

\dot{x} (t) = EIN x (t) + B u (t)

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

y (t) = C x (t) + D u (t)

$y(t) = Cx(t) + Du(t)$

Um seine Impulsantwort zu erhalten, ist es möglich, seine Laplace-Transformation zu erhalten

s X = EIN X + B U

$sX=AX+BU$

Y. = C X + D U

$Y=CX+DU$

und dann für die Übertragungsfunktion lösen, die ist

\frac{Y.}{U} = C (s ich - EIN)^{- 1} B + D

$\frac{Y}{U}=C(sI-A)^{-1}B+D$

In ähnlicher Weise ist für ein diskretes System die -Transformation von $\mathcal{Z}$

x [n + 1] = EIN x [n] + B u [n]

$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$

y [n] = C x [n] + D u [n]

$y[n] = Cx[n] + Du[n]$

ist

\frac{Y.}{U} = C (z ich - EIN)^{- 1} B + D

$\frac{Y}{U}=C(zI-A)^{-1}B+D$

Dieser Prozess scheint ein bisschen lang zu sein und ich erinnere mich, dass es einen Weg gibt, die Impulsantwort unter Verwendung der Zustandsübergangsmatrix zu finden, die die Lösung für der ersten Gleichungen jedes Paares ist. Weiß jemand, wie man das macht? $x$

impulse-response state-space linear-systems

— Phonon
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Sie können das Problem mithilfe der Zustandsübergangsmatrix lösen, indem Sie die inhomogene Standard-ODE in der ersten Gleichung lösen. Die Lösung für ist $\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$

x (t) = x_{0} e^{EIN t} + \int_{0}^{t} e^{EIN (t - t^{'})} B u (t^{'}) d t^{'}

$x(t)=x_0 e^{At}+\int_{0}^te^{A(t-t')}Bu(t')dt'$

Dabei ist . Die Größe heißt Zustandsübergangsmatrix (auch die Lösung der homogenen ODE), die ich als (ich erinnere mich nicht an die Standardnotation dafür). Unter , wird die Gleichung für wird $x_0=x(0)$ $e^{At}$ $\Xi(t)$ $x_0=0$ $y(t)$

y (t) = C \int_{0}^{t} Ξ (t - t^{'}) B u (t^{'}) d t^{'} + D u (t)

$y(t)=C\int_0^t\Xi(t-t')Bu(t')dt'+Du(t)$

Die obige Gleichung gibt Ihnen die Ausgabe als die Eingabe, die mit der Systemimpulsantwort verknüpft ist, und Sie können tatsächlich die Laplace-Transformation der obigen Gleichung verwenden, um dies zu überprüfen. Anbetracht dessen , dass die Laplace - Transformation von ist und Faltungen in den Zeitbereich werden Produkte der s-Domäne, erhalten wir $\Xi(t)=e^{At}$ $(sI-A)^{-1}$

Y = C (s I - A)^{- 1} B U + D U

$Y=C(sI-A)^{-1}BU+DU$

Das gibt Ihnen die gleiche Übertragungsfunktion wie in Ihrer Frage.

In Bezug auf Ihren Kommentar zum vollständigen Laplace-Transformationsansatz würde ich nicht unbedingt sagen, dass dies der Fall ist. Der Ansatz der Zustandsübergangsmatrix könnte jedoch einfacher zu implementieren sein , da mehrere ihn betreffende Operationen mit einfachen Matrixmultiplikationen und nicht mehr berechnet werden können.

— Lorem Ipsum
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Sehr schöne Beschreibung.

— Jason R