Sind komplexe Exponentiale die einzigen Eigenfunktionen von LTI-Systemen?

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Gibt es ein Beispiel für eine Eigenfunktion eines linearen zeitinvarianten (LTI) Systems, das kein komplexes Exponential ist? Justin Rombergs Eigenfunktionen von LTI-Systemen besagen, dass solche Eigenfunktionen existieren, aber ich bin nicht in der Lage, eine zu finden.

linear-systems theory eigendecomposition

— Vinod
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Alle Eigenfunktionen eines LTI-Systems können mit komplexen Exponentialen beschrieben werden, und komplexe Exponentiale bilden eine vollständige Basis des Signalraums. Wenn Sie jedoch ein System haben, das entartet ist , dh Sie haben Eigensubräume mit einer Dimension> 1, dann sind die Eigenvektoren zum entsprechenden Eigenwert alle Linearkombinationen von Vektoren aus dem Subraum. Und Linearkombinationen komplexer Exponentiale unterschiedlicher Frequenzen sind keine komplexen Exponentiale mehr.

Sehr einfaches Beispiel: Der Identitätsoperator 1 als LTI-System hat den gesamten Signalraum als Eigensubraum mit Eigenwert 1. Dies impliziert, dass ALLE Funktionen Eigenfunktionen sind.

— Jazzmaniac
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Außer der Null-Funktion natürlich :) Nur ein Scherz

— Laurent Duval

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Ich dachte, ich hätte meine Antwort klar formuliert - anscheinend nicht :-). Die ursprüngliche Frage lautete: "Gibt es neben dem komplexen Exponential für ein LTI-System auch Eigensignale?". Die Antwort ist, wenn man die Tatsache annimmt, dass das System LTI ist, aber nichts anderes bekannt ist, dann ist das einzige bestätigte Eignensignal das komplexe Exponential. In bestimmten Fällen kann das System auch zusätzliche Eigensignale aufweisen. Das Beispiel, das ich gegeben habe, war das ideale LPF, wobei sinc ein solches Eigensignal ist. Es ist zu beachten, dass die sinc-Funktion kein Eigensignal eines beliebigen LTI-Systems ist. Ich habe die LPF und die sinc als Beispiel für einen nicht trivialen Fall angegeben - x (t) = y (t) wird einen Mathematiker zufriedenstellen, aber keinen Ingenieur: ->. Ich bin sicher, dass man andere spezifische nicht-triviale Beispiele finden kann, die neben dem komplexen Exponential andere Signale als Eigensignale haben.

Außerdem sind cos und sin im Allgemeinen keine Eigensignale. Wenn cos (wt) angewendet wird und die Ausgabe A cos (wt + theta) ist, kann diese Ausgabe nicht als Konstante multipliziert mit der Eingabe ausgedrückt werden (außer wenn theta 0 oder pi oder A = 0 ist), was die Bedingung ist benötigt, damit ein Signal ein Eigensignal ist. Es mag Bedingungen geben, unter denen cos und sin Eigensignale sind, aber es handelt sich um Sonderfälle und nicht um allgemeine.

CSR

— CSR
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Sind Sie sicher, dass Sie meinen Kommentar zu Ihrer anderen Antwort verstanden haben? Der Punkt ist, dass für echte LTI-Systeme ein echter Sinus als Eigensignal erwartet wird. Das heißt nicht, dass alle Sinuskurven aller Frequenzen Eigensignale sind. Ich habe speziell die genaue Bedingung angegeben, für die sie vorliegen, und erklärt, warum diese Bedingung von den meisten LTI-Systemen erfüllt wird.

— Jazzmaniac

Vergessen Sie auch nicht, dass Sie Ihre Antwort bearbeitet haben, um die Bedeutung ein wenig zu ändern. Der Schritt von "Für eine rationale Übertragungsfunktion gibt es keine anderen Eigensignale" zu "Für beliebige Systeme gibt es keine allgemeinen Eigensignale außer .." ist ziemlich groß. Es ist also ein bisschen viel, wenn man es so formuliert, als ob die Leute Ihre Antwort nicht richtig verstanden hätten.

— Jazzmaniac

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Für jedes beliebige LTI-System ist das komplexe Exponential meines Wissens das einzige bekannte Eigensignal. Betrachten Sie andererseits den idealen LPF. Die Funktion: $\operatorname{sinc}$ kann leicht als Eigensignal angesehen werden. Dies weist auf die Existenz von LTI-Systemen (wie dem idealen LPF) mit anderen Signalen als komplexen Exponentialen als Eigensignalen (

sinc (t) ≜ \frac{Sünde (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

in diesem Fall).

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

— CSR
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H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

— Jazzmaniac

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\infty

$\infty$

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sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

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x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{st}$

y (t) = H (s) \cdot x (t)

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$ ). sieht für mich nach einer Eigenfunktion aus. Aber Sie haben Recht mit der Spezifikation von CSR.

— Robert Bristow-Johnson

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L^{2}

$L^2$

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Möglicherweise räumlich unveränderliche mehrdimensionale Objekte wie Linsen mit Kreissymmetrie. Es wird die Fourier-Bessel-Expansion genannt. Es gibt kein T für die Zeit, aber die Faltungshäufigkeitsdomänenbeziehungen gelten