Gibt es eine Möglichkeit, die Impulsantwort eines diskreten Systems zu erhalten, indem man nur weiß, wie es auf die diskrete Einheitsschrittfunktion reagiert?

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In ununterbrochener Zeit war es möglich;

u (t) ⟶ system ⟶ y (t) ⟹ δ (t) = \frac{d u (t)}{d t} ⟶ system ⟶ \frac{d y (t)}{d t} = h (t)

$u(t){\longrightarrow} \boxed{\quad\textrm{system}\quad} {\longrightarrow} y(t)\implies \delta(t)=\frac{du(t)}{dt}{\longrightarrow}\boxed{\quad\textrm{system}\quad}{\longrightarrow} \frac{dy(t)}{dt}=h(t)$

Gilt das auch für das diskrete Zeitsystem, dh

δ [t] = \frac{d u [t]}{d t} where: {\begin{cases} δ [t] & is the discrete time delta \\ u [t] & is the discrete time unit step function \end{cases}

$\delta[t]=\frac{du[t]}{dt} \quad\textrm{where:}\begin{cases} \delta[t] &\textrm{is the discrete time delta}\\ u[t] & \textrm{is the discrete time unit step function}\end{cases}$

Gibt es eine Möglichkeit, die Impulsantwort eines diskreten Systems zu erhalten, indem nur die Antwort des diskreten Einheitsschritts bekannt ist?

discrete-signals linear-systems

— Pyler
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Tolle Frage! Willkommen bei DSP.SE. Bleib dabei und trage dazu bei!

— Phonon

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Eine einfachere Version von Phonons Antwort lautet wie folgt.

Angenommen, bezeichnet die Reaktion des Systems auf die Einheitsschrittfunktion. Dann ist , wie in dieser Antwort diskutiert , im Allgemeinen die Summe von skalierten und zeitverzögerten Kopien der Impulsantwort, und in diesem speziellen Fall ist keine Skalierung erforderlich; nur Zeitverzögerungen. Somit wo jeweils Die rechte Spalte enthält eine (nicht skalierte und) zeitverzögerte Impulsantwort. Somit erhalten wir leicht, dass $y$ $y$

\begin{aligned} y [0] & = h [0] \\ y [1] & = h [1] + h [0] \\ y [2] & = h [2] + h [1] + h [0] \\ y [3] & = h [3] + h [2] + h [1] + h [0] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} y[0] &= h[0]\\ y[1] &= h[1] + h[0]\\ y[2] &= h[2] + h[1] + h[0]\\ y[3] &= h[3] + h[2] + h[1] + h[0]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$

\begin{aligned} h [0] & = y [0] \\ h [1] & = y [1] - y [0] \\ h [2] & = y [2] - y [1] \\ ⋮ & = ⋮ \\ h [n] & = y [n] - y [n - 1] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} h[0] &= y[0]\\ h[1] &= y[1]-y[0]\\ h[2] &= y[2]-y[1]\\ \vdots~ &= ~\vdots\\ h[n] &~= y[n] - y[n-1]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$ Ohne Erwähnung von Filtern, Inversen, Faltungen, Integration, Operatoren und dergleichen, nur einfache Konsequenzen der Definition eines linearen zeitinvarianten Systems.

— Dilip Sarwate
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Sie haben dies eindeutig länger getan als ich =)

— Phonon

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Ja, dies gilt auch für diskrete Systeme. Die Differenzierungsoperation wird in diesem Fall durch eine Differenz erster Ordnung ersetzt. Es glaubt nicht, dass es ein universelles Symbol hat, aber nennen wir es . Diese Operation entspricht dem Filtern Ihres Signals mit . Nennen wir diesen Filter . Ich werde Faltung als das Symbol bezeichnen. $D(\cdot)$ $y[n] = x[n] - x[n-1]$ $d[n]$ $*$

Wenden wir nun das, was wir über Faltung wissen, auf diesen Operator an. Wir wissen, dass wir mit einer laufenden Summe (diskreter Integrator) auf . Tatsächlich erweist sich das durch selbst dargestellte System als dieser diskrete Integrator. Beachten Sie auch, dass diese beiden Operatoren invers zueinander sind und dass speziell . $u[n]$ $\delta[n]$ $u[n]$ $u[n] * d[n] = \delta[n]$

Jetzt wissen wir, dass die Faltung kommutativ ist, dh

a [n] * b [n] = b [n] * a [n]

$a[n]*b[n] = b[n]*a[n]$

und assoziativ, das heißt

(a [n] * b [n]) * c [n] = a [n] * (b [n] * c [n])

$\left(a[n] * b[n]\right) * c[n] = a[n] * \left(b[n] * c[n]\right)$

Also ist

x [n] = δ [n] * x [n] = u [n] * d [n] * x [n] = d [n] * u [n] * x [n] = d [n] * (u [n] * x [n])

$x[n] = \delta[n] * x[n] = u[n] * d[n] * x[n] = d[n] * u[n] * x[n] = d[n] * \left(u[n] * x[n]\right)$

Sie können also sehen, dass Sie von wiederherstellen können, indem Sie die Differenz erster Ordnung anwenden, genau wie im kontinuierlichen Fall. $x[n]$ $\left(u[n] * x[n]\right)$

— Phonon
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Annahmen:

Kontinuierlicher Zeitbereich : Sei - Impulsantwort und - Schrittantwort $h(t)$ $s(t)$
Diskreter Zeitbereich : Es sei - Einheitsimpulsantwort und - Einheitsschrittantwort $h[n]$ $s[n]$

Intuitiv entspricht die Integration in den kontinuierlichen Zeitbereich der Summierung im diskreten Zeitbereich. In ähnlicher Weise entspricht die Ableitung im kontinuierlichen Zeitbereich der endlichen Differenz im diskreten Bereich.

Betrachten Sie mit diesem intuitiven Verständnis die Beziehung zwischen und (linke Seite der zweiten Gleichung in Ihrem Beitrag): $u$ $\delta$

Kontinuierlicher Zeitbereich: $u(t) = \int \delta(t)$
Diskreter Zeitbereich: $u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]$

Betrachten Sie in ähnlicher Weise die Beziehung zwischen und (rechte Seite der zweiten Gleichung in Ihrem Beitrag): $s$ $h$

Kontinuierlicher Zeitbereich: $s(t) = \int h(t)$
Diskreter Zeitbereich: $s[n] = \sum_{k=0}^{\infty} h[n-k]$

Wenn Sie sich nun die letzte Gleichung genau ansehen:

s [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} h [n - k]

$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[n-k]$

Nun kann aus dieser Gleichung unter Verwendung der endlichen Differenz von mit einer verzögerten Version von sich selbst, dh mit : $h[n]$ $s[n]$ $s[n-1]$

h [n] = s [n] - s [n - 1]

$h[n] = s[n] - s[n-1]$

— nurabha
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