Ist Ideal LPF BIBO instabil?

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In einer anderen Diskussion: Wie finde ich den Frequenzgang, die Stabilität und die Kausalität eines linearen Systems?

Ich fand einen Kommentar, der ziemlich stark war und definitiv meine Aufmerksamkeit erregte.

Ein ideales Tiefpassfilter ist ein Beispiel für ein System, das nicht BIBO-stabil ist, obwohl sein Frequenzgang für alle $f$

Ich folge der Definition von Stabilität gemäß hier im Wiki http://en.wikipedia.org/wiki/BIBO_stability

Kann mir jemand einen Beweis geben, dass ein idealer LPF tatsächlich BIBO instabil sein kann?

Natürlich kann ein idealer LPF mit unendlicher Verstärkung eine unbegrenzte Ausgabe erzeugen. Die Frage ist auf LPF beschränkt, wenn die Verstärkung endlich ist.

filters linear-systems

— Dipan Mehta
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Ein idealer LPF hat eine Impulsantwort der Form die die Bedingung nicht erfüllt benötigt für die BIBO-Stabilität. Somit ist die Antwort bei auf das begrenzte Signal (das zwischen und hin und her wechselt ) und daher ist ein idealer LPF kein BIBO-stabiles System.

h (t) = sinc (t)

$h(t) =\text{sinc}(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|dt < \infty$

t = 0

$t=0$

x (t) = sgn (sinc (t))

$x(t) = \text{sgn}(\text{sinc}(t))$

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

\int h (- t) x (t) d t = \int h (t) x (t) d t = \int | h (t) | d t = \infty

$\int h(-t)x(t)dt = \int h(t)x(t)dt = \int |h(t)|dt = \infty$

— Dilip Sarwate

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Diese Antwort ist eine Antwort auf einen Kommentar des OP zu Yodas Antwort.

Angenommen, , die Impulsantwort eines zeitkontinuierlichen linearen zeitinvarianten Systems, hat die Eigenschaft für eine endliche Anzahl . Dann wird für jede begrenzte Eingabe auch die Ausgabe begrenzt. Wenn für alle wobei eine endliche Zahl ist, dann für alle wobei auch eine endliche Zahl ist. Der Beweis ist unkompliziert. $h(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = M

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt = M$

M

$M$

x (t)

$x(t)$

y (t)

$y(t)$

| x (t) | \leq \hat{M}

$|x(t)| \leq \hat{M}$

t

$t$

\hat{M}

$\hat{M}$

| y (t) | \leq \hat{M} M

$|y(t)| \leq \hat{M}M$

t

$t$

\hat{M} M

$\hat{M}M$

\begin{aligned} | y (t) | & = | \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ | \\ \leq \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) x (t - τ) | d τ \\ \leq \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) | \cdot | x (t - τ) | d τ \\ \leq \hat{M} \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) | d τ \\ = \hat{M} M . \end{aligned}

$\begin{align*} |y(t)| &= \left |\int_{-\infty}^\infty h(\tau)x(t - \tau)\mathrm d\tau\right |\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\cdot|x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \hat{M}\int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \hat{M}M. \end{align*}$ Mit anderen Worten, wird immer dann begrenzt, wenn begrenzt ist.

y (t)

$y(t)$

x (t)

$x(t)$

Somit ist die Bedingung ist ausreichend für die BIBO-Stabilität. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

Die Bedingung ist auch für die BIBO-Stabilität notwendig. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

Angenommen, jede begrenzte Eingabe erzeugt eine begrenzte Ausgabe. Betrachten Sie nun die Eingabe . Dies ist klar begrenzt ( für alle ) und erzeugt bei die Ausgabe Unsere Annahme, dass das System BIBO-stabil ist, bedeutet, dass notwendigerweise endlich ist, $x(t) = \text{sgn}(h(-t)) ~\forall~ t$ $|x(t)| \leq 1$ $t$ $t=0$

\begin{aligned} y (0) & = \int_{- \infty}^{\infty} h (0 - τ) x (- τ) d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} h (- τ) sgn (h (- τ)) d τ & = \int_{- \infty}^{\infty} | h (- τ) | d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t . \end{aligned}

$\begin{align*} y(0) &= \int_{-\infty}^\infty h(0-\tau)x(-\tau)\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty h(-\tau)\text{sgn}(h(-\tau))\mathrm d\tau &= \int_{-\infty}^\infty |h(-\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty |h(t)|\mathrm dt. \end{align*}$

y (0)

$y(0)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

Der Beweis für zeitdiskrete Systeme ist ähnlich mit der offensichtlichen Änderung, dass alle Integrale durch Summen ersetzt werden.

Ideale LPFs sind keine BIBO-stabilen Systeme, da die Impulsantwort nicht absolut integrierbar ist, wie in der Antwort von yoda angegeben. Aber seine Antwort beantwortet die Frage nicht wirklich

Kann mir jemand einen Beweis geben, dass ein idealer LPF tatsächlich BIBO instabil sein kann?

Ein spezifisches Beispiel eines begrenzten Eingangssignals, das einen unbegrenzten Ausgang von einem idealen LPF erzeugt (und somit beweist, dass das System nicht BIBO-stabil ist), kann wie oben beschrieben konstruiert werden (siehe auch meinen Kommentar zur Hauptfrage).

— Dilip Sarwate
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Eine notwendige Bedingung für die BIBO-Stabilität ist das Vorhandensein der Norm (oder Norm für diskrete Systeme) der Impulsantwort. Aus dem von Ihnen zitierten Wiki-Artikel $L^1$ $\ell^1$

Für ein zeitkontinuierliches lineares zeitinvariantes (LTI) System ist die Bedingung für die BIBO-Stabilität, dass die Impulsantwort absolut integrierbar ist, dh ihre L1-Norm existiert.

$\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = ‖ h (t) ‖_{1} < \infty$ $\int_{-\infty}^\infty |h(t)|\ dt=\Vert h(t)\Vert_1<\infty$

Die Impulsantwort eines idealen LPF ist die Funktion , die nur die Norm und nicht die Norm hat. Mit anderen Worten, ist nicht absolut summierbar oder $\text{sinc}$ $L^2$ $L^1$ $\text{sinc}(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | sinc (t) | d t = \infty

$\int_{-\infty}^\infty |\text{sinc}(t)|\ dt=\infty$

Daher ist ein idealer LPF nicht BIBO-stabil, obwohl sein Frequenzgang für alle . $f$

— Lorem Ipsum
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Nach dem, was ich dachte, ist die Impulsantwort absolut summierbar, dh es existiert ihre L1-Norm. ist eine ausreichende Bedingung, dass ein System BIBO-stabil ist. Ist dies jedoch eine notwendige Bedingung, die gelten muss?

— Dipan Mehta

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Die Fourier-Transformation des idealen lpf ist eine Sinc-Funktion im Zeitbereich, die von -inendlich bis + unendlich existiert, so dass sie nicht kausal ist und der Bereich darin unendlich und so unbegrenzt ist. ..

— pankaj kumar singh
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1

Willkommen bei DSP.SE! Vielen Dank für Ihre Antwort, aber ich glaube nicht, dass sie den vorhandenen Antworten etwas hinzufügt. Darüber hinaus ist es nicht wahr, dass der Bereich unter der Sinc-Funktion unbegrenzt ist, sondern der Bereich unter der Größe der Sinc-Funktion ist unbegrenzt. Letzteres verursacht die Instabilität des Systems.

— Matt L.