Leicht oszillierende Reihen mit hoher Präzision berechnen?

Angenommen, ich habe die folgende interessante Funktion: Es hat einige unangenehme Eigenschaften, wie die Ableitung, die bei rationalen Vielfachen vonnicht stetig ist. Ich vermute, dass ein geschlossenes Formular nicht existiert.

f (x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} .

$f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}.$

π

$\pi$

Ich kann es berechnen, indem ich Teilsummen berechne und Richardson-Extrapolation verwende, aber das Problem ist, dass es zu langsam ist, die Funktion auf eine gute Anzahl von Dezimalstellen zu berechnen (100 wäre zum Beispiel schön).

Gibt es eine Methode, die diese Funktion besser beherrscht?

Hier ist eine Darstellung von mit einigen Artefakten: $f'(\pi x)$

$Funktionsableitung $ f '(\ pi x) $$

convergence extrapolation

— Kirill
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Vielleicht kann man die Tatsache , dass verwenden

, wobei

ein Tschebyscheff - Polynom ist. Dann beginnt die Summation wie eine Reihe rationaler Polynome auszusehen. Wenn Sie dann die Reihe in ein rationales Polynom auf Chebyshev-Basis umwandeln können, ist dies eine sehr effiziente Methode, um sie zusammenzufassen. Wenn Sie mit Chebyshev-Polynomen und -Basis nicht vertraut sind, haben die numerischen Rezepte in C eine gute Grundierung.

c o s (k x) = T_{k} (x)

$cos(kx) = T_k(x)$

T_{k} (x)

$T_k(x)$ www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPfirst6chapters.pdf

— Jay Lemmon

äh, das sollte sagen

c o s (k x) = T_{k} (c o s (x))

$cos(kx) = T_k(cos(x))$

— Jay Lemmon

@ JayLemmon Vielen Dank für diesen Link. Ich werde nachsehen, ob es hilft.

— Kirill

Ich komme etwas spät zu dieser Party, aber haben Sie versucht, Padé-Approximanten zu verwenden, dh den

Algorithmus anstelle der Richardson-Extrapolation?

ε

$\varepsilon$

— Pedro

In Analogie zu hochoszillierenden Integralen glaube ich, dass Sie ohne Kenntnisse über die Trennung zwischen oszillierenden und nichtoszillierenden Teilen keine gute Arbeit leisten können. Wenn Sie eine solche Trennung haben, gibt Ihnen die Fourier-Reihenantwort eine einfache exponentielle Konvergenz.

— Geoffrey Irving

Antworten:

Wenn analytische Techniken nicht zulässig sind, aber die periodische Struktur bekannt ist, ist hier ein Ansatz. Sei ist periodisch mit der Periode, so dass wobei

G (x) = \frac{\cos x}{2 - \cos x}

$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$

2 π

$2 \pi$

G (x) = \sum_{j} w_{j} e^{ich j x}

$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$

Somit ist

w_{j} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} G (x) e^{- ich j x} d x

$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$

Sie können entweder die Integrale approximieren

direkt oder ein Bündel berechnen

Werte und eine DFT verwenden. In beiden Fällen können Sie möglicherweise eine Richardson-Extrapolation auf das Ergebnis anwenden. Da in Ihrem Fall

innerhalb einer Nachbarschaft von analytisch ist

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{G (k x)}{k^{p}} \\ = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^{p}} \sum_{j} w_{j} e^{ich j k x} \\ = \sum_{j} w_{j} \sum_{k \geq 1} \frac{{(e^{ich j x})}^{k}}{k^{p}} \\ = \sum_{j} w_{j} {Li}_{p} (e^{ich j x}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$

w_{j}

$w_j$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

, konvergiert die endgültige Reihe auch ohne Richardson exponentiell.

R

$\mathbb{R}$

— Geoffrey Irving
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g (x) = \cos (x) / (2 - \cos (x))

$g(x) = \cos(x) / (2 - \cos(x))$

$x = 2\pi a/b$ $a,b$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(k + b n)^{2}} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \frac{ψ^{1} (k / b)}{b^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$

ψ^{1} (z)

$\psi^1(z)$ Werte und Ableitungen für die Serie

— Geoffrey Irving
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Vielen Dank. Das Problem ist, dass ich diese spezielle Funktion als Modell für eine andere, kompliziertere Funktion ausgewählt habe, die ich eigentlich bewerten wollte. Sie hat ähnliche Eigenschaften, ist aber nicht die gleiche. Mir ist das geschlossene Formular aus dieser Frage zu MSE bekannt . Ich meinte dies als eine Frage zur numerischen Summierung einer unendlichen Reihe ohne geschlossene Form.

— Kirill

Vielleicht ist meine andere Antwort dann besser?

— Geoffrey Irving

Wie wäre es mit der Levin-U-Transformation ? Zusätzlich zu den Fortan-Codes gibt es in der GSL mehrere Versionen : `gsl_sum_levin_u * ' . Matlabs MuPAD und Maple verwenden dieses Schema.

— Horchler
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Ich habe es versucht, aber ich fand die Richardson-Extrapolation genauer.

— Kirill