FAS-Multigrid langsamer als lineare Defektkorrektur?

Ich habe einen V-Cycle-Multigrid-Solver implementiert, der sowohl eine lineare Fehlerkorrektur (LDC) als auch ein vollständiges Approximationsschema (FAS) verwendet.

Mein Problem ist folgendes: Bei Verwendung von LDC wird der Rest um einen Faktor von ~ 0,03 pro Zyklus reduziert. Die FAS-Implementierung konvergiert zwar auch mit einem linearen Faktor, der Faktor beträgt jedoch nur ~ 0,58. Somit benötigt FAS etwa die 20-fache Anzahl von Zyklen.

Der größte Teil des Codes wird gemeinsam genutzt. Der einzige Unterschied besteht in den von LDC verwendeten Down / Up-Berechnungen

unten: $u_H:=0,\quad b_H:=I_h^H(b_h-L_hu_h)$

up: $u_h:=u_h+I_H^hu_H$

und FAS verwendet

unten: $u_H:=I_h^Hu_h,\quad b_H:=I_h^Hb_h+L_HI_h^Hu_h-I_h^HL_hu_h$

up: $u_h:=u_h+I_H^h(u_H-I_h^Hu_h)$

Meine Testeinstellung stammt aus Briggs "A Multigrid Tutorial, Second Edition", S. 22. 64, hat die analytische Lösung

$u(x,y)=(x^2-x^4)(y^4-y^2) \quad$mit $x,y\in [0,1]^2$

$Lv=\Delta u=:b$$L$$v=0$

$u(x,y)=0$$v=1$

Da sich nur der Down / Up-Code unterscheidet, die LDC-Ergebnisse dem Buch entsprechen und das FAS zumindest auch zu funktionieren scheint, habe ich keine Ahnung, warum es in derselben linearen Einstellung so viel langsamer ist.

$=0$$10^{-15}$$10^{-1}$

Da ein Bild mehr sagt als Worte:

// first cycle, levels 0-4
// DOWN
VCycle top 4, start               res_norm 3.676520e+02 // initial residual
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 3.676520e+02
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 1.520312e+02 // relaxed (2 iterations)
VCycle tau_norm 2.148001e+01 (DEBUG calculation)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 1.049619e+02 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 5.050392e+01 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 3.518764e+01 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 1.759372e+01 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 1.234398e+01 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 4.728777e+00 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 0, res_norm 3.343750e+00 // restricted
// coarsest grid
VCycle top 4, cycle 0, current 0, res_norm 0.000000e+00 // solved
// UP
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 3.738426e+00 // prolonged
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 0.000000e+00 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 1.509429e+01 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 2.512148e-15 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 4.695979e+01 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 0.000000e+00 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 1.469312e+02 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 9.172812e-24 // relaxed (many iterations)

Ich bin mir nicht sicher, ob pro Zyklus nur wenige Stellen gewonnen werden können oder ob dies auf einen Fehler bei der Interpolation in das feine Gitter hinweist. Wenn es der letztere Fall ist, wie kann der LDC die Restverhältnisse von ~ 0,03 erreichen, wenn immer 2 Relaxationen verwendet werden?

Ich kenne Ihre Antwort nicht direkt, da ich hauptsächlich FAS anstelle von Korrektur verwende, da ich Multigrid für nichtlineare Probleme mache, aber einige Gedanken, die Sie untersuchen können:

• Sie wenden ein lineares Korrekturschema auf ein lineares Problem an, daher ist es nicht schockierend, dass es sehr gut funktioniert.

• Berücksichtigen Sie Ihre Randbedingungen: Stellen Sie sicher, dass Sie sie korrekt ausführen, und beachten Sie auch, dass komplizierte BCs im Grobgitter völlig anders aussehen können, sodass Korrekturen dort nicht so nützlich sind.

• Überprüfen Sie Ihre Behandlung des Quellbegriffs. Ich erinnere mich, dass ich in der Verlängerungsphase, die mit diesem Begriff zusammenhängt, etwas vermasselt habe, als ich ihn für Poisson geschrieben habe.

• Ich habe noch nie die Notwendigkeit gesehen, auf dem gröbsten Gitter zur Konvergenz zu iterieren. Eine Lösung hängt davon ab, ob der Rest des feinen Gitters korrekt ist, was nicht der Fall ist. Sie versuchen, diese Fehler aus der Domäne zu entfernen / zu glätten. Wenn Sie in einer frühen Iteration vollständig auf dem gröbsten Raster konvergiert sind, ist Ihre Lösung natürlich ziemlich weit von der richtigen Feinrasterlösung entfernt, da Ihre Residuen dort nicht auf dem neuesten Stand sind. Dies ist mit ziemlicher Sicherheit der Grund, warum in der Verlängerungsphase Residuen auftauchen.

• Versuchen Sie auch einen Relaxationsfaktor für die Restriktions- und Verlängerungsoperatoren, z. B. 0,75.

Wenn es hilft, sah meine FAS-Resthistorie für ein Poisson-Problem mit einem einzelnen Gitter über volle 7-V-Zyklen so aus. Ich glaube, der Relaxationsfaktor betrug 0,75, und ich verwendete ein dreistufiges RK-Schema als Glättung mit einer einzelnen Iteration auf jeder Gitterebene.

$I_h^H$$\hat I_h^H$$u^h \gets u^h (u^H - I_h^H u^h)$$\hat I_h^H u^h$

Spektral erfordert die Zustandsbeschränkung nur eine hohe sekundäre Ordnung (genaue Erhaltung niedriger Frequenzen), aber die primäre Ordnung (Aliasing hoher Frequenzen) spielt keine Rolle. Die Injektion hat die Primärordnung 0 und die unendliche Sekundärordnung. In der Zwischenzeit muss die Restrestriktion sowohl in der Primär- als auch in der Sekundärordnung positiv sein (zumindest). Siehe Abschnitt 4.3 des Achi Brandt Multigrid Guide .

Beim Entwerfen von MG-Methoden ist es auch gut, Fehler anstelle von Residuen zu betrachten und sicherzustellen, dass Sie die Norm angemessen gewichten.

$u_{old}^H=I_h^Hu^h$

$u^h\leftarrow u^h+I_H^h(u^H-I_h^Hu^h)=u^h+I_H^h(u^H-u_{old}^H)$

$H$$2H$$u_{old}^H$$u_{old}^H$