Welchen Zweck hat es, die Integration von Teilen zu nutzen, um eine schwache Form für die FEM-Diskretisierung abzuleiten?

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Wenn man von der starken Form einer PDE zur FEM-Form übergeht, sollte man dies immer tun, indem man zuerst die Variationsform angibt. Dazu multiplizieren Sie die starke Form mit einem Element in einem bestimmten Raum (Sobolev) und integrieren sie über Ihre Region. Das kann ich akzeptieren. Was ich nicht verstehe, ist, warum man auch die Greensche Formel verwenden muss (ein- oder mehrmals).

Ich habe meistens mit der Poissonschen Gleichung gearbeitet, wenn wir das als Beispiel nehmen (mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen), d. H

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f, u \in Ω \\ u & = 0, u \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$

dann wird behauptet, dass der richtige Weg zur Bildung der Variationsform ist

\begin{aligned} \int_{Ω} f v d \vec{x} & = - \int_{Ω} \nabla^{2} u v d \vec{x} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} - \int_{\partial Ω} \vec{n} \cdot \nabla u v d \vec{s} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$

Aber was hindert mich daran, den Ausdruck in der ersten Zeile zu verwenden, ist das nicht auch eine Variationsform, mit der man eine FEM-Form erhalten kann? Entspricht es nicht den bilinearen und linearen Formen und ? Ist das Problem hier, dass ich Probleme habe, wenn ich lineare Basisfunktionen (Formfunktionen) verwende, weil meine Steifheitsmatrix die Nullmatrix ist (nicht invertierbar)? Was aber, wenn ich nichtlineare Formfunktionen verwende? Muss ich immer noch Green's Formel verwenden? Wenn ich nicht muss: ist es ratsam? Wenn nicht, habe ich dann eine Variations-aber-nicht-schwache Formulierung? $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$ $l(v)=(f, v)$

Angenommen, ich habe eine PDE mit Derivaten höherer Ordnung. Bedeutet das, dass es viele mögliche Variationsformen gibt, je nachdem, wie ich die Greensche Formel verwende? Und alle führen zu (unterschiedlichen) FEM-Annäherungen?

pde finite-element elliptic-pde

— Christian
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Siehe auch

— Paul

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Kurze Antwort:

Nein, für bestimmte FEMs muss keine Integration durchgeführt werden. Aber in deinem Fall musst du das tun.

Lange Antwort:

Angenommen, ist die Finite-Elemente-Lösung. Wenn Sie sich abschnittsweise lineare Polynom als Basis, dann nehmen auf sie geben Ihnen einen Auftrag 1 Verteilung (man denke unter Ableitung einer Funktion Heaviside Schritt) und die Integration von mit Multiplikation wird nur Sinnvoll , wenn Sie es als Dualitätspaar und nicht als -inneres Produkt betrachten. Sie werden weder eine Null - Matrix erhalten, der Riesz Darstellungssatz sagt , dass es ein Element in $u_h$ $\Delta$ $-\Delta u_h\in H^{-1}$ $v$ $L^2$ $\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$ Charakterisierung können die Dualität Paar durch das innere Produkt in : Durch die Integration von Teilen Element für Element für wird dieses Dualitätspaar beleuchtet: Für ein Element in dieser Triangulation $H^1$
$⟨ - Δ u_{h}, v ⟩_{H^{- 1}, H_{0}^{1}} = \underset{inner product in H^{1}}{\underset{⏟}{\int_{Ω} \nabla φ_{- Δ u_{h}} \cdot \nabla v}} .$ $\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$ $u_h$ $T$ dies zeigt, dass sollte Zwischenelement Flußsprunges in seiner Dualität Paar Darstellung umfassen, feststellendie Integration auf der Grenze von jedem Elemente ist auch eine Dualität Paar zwischen und . Auch wenn Sie quadratische Basisverwenden, die eine nicht verschwindende hat auf jedem Element, noch kann man nicht schreiben als inneres Produkt, wegen dieses Zwischenelement Präsenz Flußsprunges. $\int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v = - \sum_{T} (\int_{T} Δ u_{h} v + \int_{\partial T} \frac{\partial u_{h}}{\partial n} v d S),$ $\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$ $-\Delta u_h$ $H^{1/2}$ $H^{-1/2}$ $\Delta$ $(\Delta u, v)$
$W^{k,p}$ $W^{k,p}$ $H^1$ $H^2$ $H^2$ $\Delta u_h$
Für bestimmte FEMs müssen Sie die Integration nicht nach Teilen durchführen. Zum Beispiel das kleinste quadratische finite Element. Schreiben Sie die PDE zweiter Ordnung als System erster Ordnung: Dann wollen Sie die Funktion der kleinsten Quadrate minimieren: dem gleichen Prinzip wie das Ritz-Galerkin-Funktional, die Finite-Elemente-Formel zur Minimierung des obigen Funktional in a Der Finite-Elemente-Raum erfordert keine Teilintegration.
${\begin{cases} σ = - \nabla u, \\ \nabla \cdot σ = f . \end{cases}$ $\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$ $J (v) = ‖ σ + \nabla u ‖_{L^{2} Ω}^{2} + ‖ \nabla \cdot σ - f ‖_{L^{2} Ω}^{2},$ $\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$

— Shuhao Cao
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Nichts hindert Sie daran, dies technisch zu tun, aber wenn Sie Teile integrieren, erhalten Sie mehr Flexibilität im Lösungsraum, da diese keine Regularität aufweisen müssen (erforderlich für die Nicht-IBP-Formulierung). Die linearen Elemente, die Sie vorschlagen, weisen im Allgemeinen eine erzwungene Kontinuität zwischen Elementen auf und können daher nicht in . Die IBP-Formulierung ist außerdem symmetrisch, was auch einige seiner eigenen Vorteile hat. $H^2$ $H^2$

— Reid. Atcheson
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Wollen Sie damit sagen, dass lineare Formfunktionen eine Lösung für die FEM-Formulierung ergeben, die nicht in da eine zweimalige (schwache) Differenzierung dieser FEM-Lösung eine Summe von Delta-Verteilungen ergibt, die nicht in ? Heißt das , dass für pde: s höhere Ordnung als 2 I muss Formfunktionen höherer Ordnung als 1 verwenden (zumindest , wenn die Test- und Proberäume sollen gleich sein?)?

H^{2}

$H^2$

L^{2}

$L^2$

— Christian

1

Was Sie sagen, ist im Wesentlichen richtig. Bei einer PDE höherer Ordnung als zweiter Ordnung müssen Sie nicht unbedingt Räume mit höherer Regelmäßigkeit verwenden, da das Aufschreiben der gemischten Formulierung (siehe Shuhaos Antwort) hilfreich sein kann. Sie können auch andere Techniken wie die Sprungstrafe anwenden, um diese Schwierigkeit zu vermeiden. Für eine klassische FEM-Antwort benötigen Sie jedoch eine höhere Regelmäßigkeit.

— Reid.Atcheson

2

Lassen Sie mich die Bedeutung der Symmetrie hervorheben. Wenn ein Differentialoperator selbstadjugiert ist, erwarte ich, dass er eine symmetrische Matrix ergibt. Ohne Teilintegration ist dies nicht der Fall.

— Stefano M

1

Der Hauptgedanke bei der Hinzufügung war der Nutzen von Computern, aber gibt es auch starke theoretische Vorteile der Symmetrie (abgesehen von einfacheren Beweisen von Tatsachen, die im elliptischen Fall wahrscheinlich noch gelten, selbst wenn die Diskretisierung unsymmetrisch ist)?

— Reid.Atcheson

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Ausgezeichnete Antworten bereits auf dieser Seite, aber es gibt noch einen (kleinen) fehlenden Punkt.

Das OP fragte:

Angenommen, ich habe eine PDE mit Derivaten höherer Ordnung. Bedeutet das, dass es viele mögliche Variationsformen gibt, je nachdem, wie ich die Greensche Formel verwende? Und alle führen zu (unterschiedlichen) FEM-Annäherungen?

Bei Neumann-Randbedingungen ist die ( korrekte ) Integration nach Teilen wichtig. Tatsächlich berücksichtigen Sie nach ibp das Neumann bc in Ihrer Variationsformulierung. Die Form des Neumann bc hängt davon ab, wie Sie nach Teilen integrieren, vgl. Diese Antwort auf die Integration von Teilen in lineare Elastizität. Selbst für elliptische PDEs zweiter Ordnung muss die Integration durch Teile auf eine bestimmte Weise durchgeführt werden, um eine Variationsformulierung zu erhalten, die für Neumann- oder gemischte Randbedingungen gültig ist. (Und das natürlich unabhängig davon, dass Sie von FEM diskretisieren).

In der mathematischen Physik, in der Neumann bc eine genau definierte Bedeutung hat (Wärmefluss, Spannung ...), ist die Integration nach Teilen wichtig, um die korrekte Interpretation der Ergebnisse zu gewährleisten. Dies gilt auch für homogene Dirichlet-Bedingungen und FEM, da bei Verwendung einer Lagrange-Multiplikatormethode zum Auferlegen der bc-Werte die Multiplikatoren zu physikalischen Größen werden, wie konzentrierte Flüsse oder Kräfte.

— Stefano M
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