Was ist der Unterschied zwischen impliziter FEM und expliziter FEM?

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Was genau ist der Unterschied zwischen expliziter und impliziter FEM? Laut dem Beitrag hier scheint der einzige Unterschied darin zu bestehen, ob implizite oder explizite Zeitintegration verwendet wird.

Wie ich mich aus einem Buch erinnere, das ich gelesen habe, ist implizite FEM der Ort, an dem die Masse nicht auf die Knoten verteilt wird.

Was sind die genauen Definitionen von expliziter und impliziter FEM?

finite-element implicit-methods explicit-methods

— Fei Zhu
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Die FEM-Methode für vorübergehende Probleme verwendet typischerweise die Methode der Linien, dh die räumliche Diskretisierung ist von der Zeitdiskretisierung entkoppelt: wobei der Vektor der Knotengrößen ist, der als unbekannte Funktionen der Zeit angenommen wird. Unter dieser Annahme werden die Raum-Zeit-PDEs in Verwendung der üblichen FEM-Maschinerie für statische Probleme auf ODEs in allein reduziert (diskretisiert) .

u^{h} (x, t) = Φ (x)^{T} U (t)

$\begin{equation} u^h(x,t) = \mathbf{\Phi}(x)^T \, \mathbf{U}(t) \end{equation}$

U (t)

$\mathbf{U}(t)$

(x, t)

$(x,t)$

t

$t$

Wie bereits in anderen Antworten erwähnt, sprechen wir von expliziter oder impliziter FEM in Bezug auf das Zeitintegrationsschema dieser ODEs.

In Bezug auf Probleme der Kontinuumsmechanik (ohne Dämpfung) erhalten wir ein System von ODEs wie wobei und sind die internen und externen Knotenäquivalentkräfte. Für lineare Probleme .

M \ddot{U} (t) + F_{i} (U (t)) = F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) + \mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i}

$\mathbf{F}_\text{i}$

F_{e}

$\mathbf{F}_\text{e}$

F_{i} (t) = K U (t)

$\mathbf{F}_\text{i}(t) = \mathbf{K}\, \mathbf{U}(t)$

Unter der Gefahr einer zu starken Vereinfachung nehmen wir an, dass Sie in einem expliziten Schema nur nach lösen müssen welches trivial, wenn die Massenmatrix zusammengefasst ist. Im Gegenteil, bei impliziten Methoden müssen Sie die (nicht) linearen Gleichungen lösen . $\ddot{\mathbf{U}}(t)$

M \ddot{U} (t) = - F_{i} (U (t)) + F_{e} (t)

$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) = -\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) + \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$

F_{i} (U (t)) = b

$\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{b}$

Um Ihre Frage vollständig zu beantworten: Explizit / Implizit bezieht sich auf die Lösung des ODE-Systems und nicht auf die Art der Massenmatrix. Natürlich erfordert jede vernünftige Implementierung eines expliziten Schemas, dass die Massenmatrix zusammengefasst wird, da sonst die Vorteile der Methode in der Lösung für . Im Gegenteil, für implizite Schemata können Sie sowohl konzentrierte als auch konsistente Massenmatrizen haben. $\ddot{\mathbf{U}}(t)$

— Stefano M.
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Ja, es ist die Zeitintegration, aber es bedeutet auch, dass:

Sie müssen ein lineares System vom Typ Ax = b im impliziten Schema lösen, wo Sie es wie im expliziten Schema nicht tun, da die konzentrierte Massenmatrix nur diagonale Einträge hat, so dass inv (M) trivial ist.
Ihr Zeitschritt im expliziten Schema wird durch die CFL-Stabilitätskriterien begrenzt. Implizite Schemata sind bedingungslos stabil (obwohl Sie in der Praxis immer noch einen angemessenen Zeitschritt für die Genauigkeit benötigen).

Typische Probleme, bei denen Trägheitseffekte wichtig sind (z. B. Wellenausbreitung), werden durch explizite Schemata gelöst, bei denen quasistatische Probleme normalerweise ein implizites Schema verwenden. Es gibt jedoch Ausnahmen.

— stali
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In impliziten Schemata entstehen nicht nur lineare Gleichungssysteme, sondern (zum Beispiel bei der Fluidmodellierung) nichtlineare Gleichungssysteme.

— Elend

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Die Begriffe "explizit" und "implizit" entstehen in der Zeitdiskretisierung, und diese Begriffe werden bereits in der Literatur zu gewöhnlichen Differentialgleichungen verwendet (dh sie sind nicht spezifisch für die Finite-Elemente-Methode). Es lohnt sich, einen Blick in ein Buch zu werfen, in dem die numerische Lösung von ODEs diskutiert wird, z. B. Hairer & Wanner.

— Wolfgang Bangerth
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