Verwenden einer Festpunktiteration zum Entkoppeln eines PDE-Systems

Angenommen, ich hatte ein Randwertproblem:

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} + \frac{d v}{d x} = f im Ω

$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$

\frac{d u}{d x} + \frac{d^{2} v}{d x^{2}} = G im Ω

$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$

u = h im \partial Ω

$u=h \text{ in } \partial\Omega$

Mein Ziel ist es, die Lösung dieses gekoppelten Problems in eine Folge von ungekoppelten PDEs zu zerlegen. Um das System zu entkoppeln, ich Anlegen einer Fixpunktiteration über eine Folge von Approximationen derart , dass $(u^k,v^k)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f

$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$

\frac{d u^{k - 1}}{d x} + \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} = G

$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$

Theoretisch würde dies mir erlauben, beide Gleichungen als rein elliptische PDEs zu lösen. Ich habe jedoch noch nie Festpunktiterationen gesehen, die auf diese Weise auf PDEs angewendet wurden. Ich habe Fixpunktiterationen gesehen, die auf die numerisch diskretisierten Gleichungen (Finite-Differenzen-Methode, Finite-Elemente-Methode usw.) angewendet wurden, aber niemals direkt auf die stetigen Gleichungen.

Verstoße ich damit gegen ein offensichtliches mathematisches Prinzip? Ist das mathematisch gültig? Könnte ich die gekoppelte PDE als Folge von nicht gekoppelten PDEs lösen, indem ich eine Festpunktiteration verwende, die auf das CONTINUOUS-Variablenproblem angewendet wird, und nicht auf das DISCRETE-Variablenproblem?

An dieser Stelle geht es mir nicht wirklich darum, ob es praktisch ist, diese Methode anzuwenden, sondern ob sie theoretisch plausibel ist. Jedes Feedback wäre sehr dankbar!

pde iterative-method

— Paul
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In der hyperbolischen PDE-Literatur tun Bruchschritt- und Operator-Aufteilungsmethoden sozusagen das, was Sie oben beschrieben haben.

— Geoff Oxberry

Meinten Sie

statt

(u^{k}, v^{k})

$(u^k, v^k)$

(u^{k}, p^{k})

$(u^k, p^k)$

— Bill Barth

@ BillBarth: Ja! Ich habe es gerade korrigiert.

— Paul

@GeoffOxberry: Ich finde, dass das Aufteilen von Operatoren einen sehr unterschiedlichen Charakter hat.

— Anonym

@Paul: Ich kann mir mindestens ein anderes Problem vorstellen, bei dem "gekoppelte PDEs" durch eine Festpunktiteration gelöst werden (und nicht nur als Festpunktprobleme formuliert werden): die Zerlegung von Domänen, siehe z. B. die Neumann-Dirichlet-Methode. (Der Unterschied besteht darin, dass Sie zwei PDEs haben, diese jedoch in unterschiedlichen Domänen leben und die Kopplung nur über eine Schnittstelle erfolgt).

— Anonym

$C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} + \frac{d u^{k - 1}}{d x} = G

$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\$ (plus Randbedingungen).

Es ist klar , dass , wenn diese Sequenz konvergiert, wird es eine Lösung des ursprünglichen Satzes von PDEs sein.

Um zu beweisen, ob die Sequenz im Banach-Raum konvergiert, kann sich Banachs Fixpunktsatz als nützlich erweisen. Er sagt , dass , wenn Ihre Mapping a Kontraktion , können Sie sicher sein , die Lösung zu nähern gegeben jede anfängliche Schätzung , $x^k\to x^{k+1}$ $u^0$ $v^0$

‖ (\begin{matrix} u^{k} \\ v^{k} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k} \\ {\hat{v}}^{k} \end{matrix}) ‖ \leq q ‖ (\begin{matrix} u^{k - 1} \\ v^{k - 1} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k - 1} \\ {\hat{v}}^{k - 1} \end{matrix}) ‖

$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$

| q | < 1

$|q|<1$

(u^{k - 1}, v^{k - 1})

$(u^{k-1}, v^{k-1})$

({\hat{u}}^{k - 1}, {\hat{v}}^{k - 1})

$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$

Diese Logik funktioniert sowohl im kontinuierlichen als auch im diskreten Raum.

— Nico Schlömer
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| q | < 1

$|q|<1$