Konvergenzrate des FFT-Poisson-Lösers


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Was ist die theoretische Konvergenzrate für einen FFT-Giftlöser?

Ich löse eine Poisson-Gleichung:

2VH(x,y,z)=-4πn(x,y,z)
mit in der Domäne[0,2]×[0,2]×[0,2]mit periodischer Randbedingung. Diese Ladungsdichte ist netto neutral. Die Lösung ist gegeben durch: VH(x)=n(
n(x,y,z)=3π((x-1)2+(y-1)2+(z-1)2-1)
[0,2]×[0,2]×[0,2] mitx=(x,y,z). Im reziproken Raum ist VH(G)=4πn(G)
VH(x)=n(y)|x-y|d3y
x=(x,y,z) wobeiGdie reziproken Raumvektoren sind. Ich interessiere mich für die Hartree-Energie: EH=1
VH(G)=4πn(G)G2
G Im reziproken Raum wird dies (nach Diskretisierung): EH=2πG0 | n( G ) | 2
EH=12n(x)n(y)|x-y|d3xd3y=12VH(x)n(x)d3x
DerTermG=0wird weggelassen, wodurch die Ladungsdichte effektiv netto neutral wird (und da sie bereits neutral ist, ist alles konsistent).
EH=2πG0|n(G)|2G2
G=0

EH=12835π=1,16410 ...

Hier ist ein Programm mit NumPy, das die Berechnung durchführt.

from numpy import empty, pi, meshgrid, linspace, sum
from numpy.fft import fftn, fftfreq
E_exact = 128/(35*pi)
print "Hartree Energy (exact):      %.15f" % E_exact
f = open("conv.txt", "w")
for N in range(3, 384, 10):
    print "N =", N
    L = 2.
    x1d = linspace(0, L, N)
    x, y, z = meshgrid(x1d, x1d, x1d)

    nr = 3 * ((x-1)**2 + (y-1)**2 + (z-1)**2 - 1) / pi
    ng = fftn(nr) / N**3

    G1d = N * fftfreq(N) * 2*pi/L
    kx, ky, kz = meshgrid(G1d, G1d, G1d)
    G2 = kx**2+ky**2+kz**2
    G2[0, 0, 0] = 1  # omit the G=0 term

    tmp = 2*pi*abs(ng)**2 / G2
    tmp[0, 0, 0] = 0  # omit the G=0 term
    E = sum(tmp) * L**3
    print "Hartree Energy (calculated): %.15f" % E
    f.write("%d %.15f\n" % (N, E))
f.close()

Und hier ist ein Konvergenzdiagramm (nur conv.txtdas obige Skript, hier ist ein Notizbuch, das es macht, wenn Sie selbst damit spielen möchten):

FFT-Konvergenzdiagramm

Wie Sie sehen, ist die Konvergenz linear, was für mich eine Überraschung war. Ich dachte, dass FFT viel schneller konvergiert.

Update :

Die Lösung hat eine Spitze an der Grenze (das habe ich vorher nicht bemerkt). Damit FFT schnell konvergiert, müssen alle Ableitungen der Lösung glatt sein. Also habe ich auch die folgende rechte Seite ausprobiert:

nr = 3*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z)/4

VH=Sünde(πx)Sünde(πy)Sünde(πz)EH=3π8

Kennt jemand einen Benchmark in 3D, so dass ich eine schnellere Konvergenz als linear sehen kann?


Ondrej, ist die Fourier-Transformation Ihrer glatten Dichte keine Delta-Funktion? Ich gebe zu, zu faul zu sein, um es auszuführen, aber es sollte die genaue Antwort beim ersten Versuch bekommen.
Matt Knepley

Ich glaube, es ist. Es konvergiert jedoch nicht in einer Iteration, wie aus den Notebook-Plots hervorgeht. Ich habe keine Ahnung, was los ist.
Ondřej Čertík

Ondrej, sind Sie sicher, dass Ihre Implementierung korrekt ist? Ich erinnere mich, dass ich versucht habe, Spektrallöser für eine Hausaufgabe in der Grundschule zu implementieren und die Konstanten total zu verwischen. Ich stelle fest, dass Sie Fehler messen, indem Sie den absoluten Abstand zwischen der berechneten und der exakten Energie betrachten. Wie sieht Ihre Konvergenz mit der tatsächlichen Lösung des Problems aus? Dies sollte einfach zu berechnen sein und sogar über einen 2-D-Teil des Problems geplottet werden können.
Aron Ahmadia

Aron --- Ich habe meine Implementierung mit einem anderen Code verglichen, aber ich habe sie auf meine falsche Erstbemusterung überprüft, sodass ich in beiden Codes den gleichen Fehler hatte. Matt hatte recht, jetzt läuft es beim ersten Versuch zusammen. Siehe meine Antwort unten.
Ondřej Čertík

Antworten:


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Lassen Sie mich zunächst alle Fragen beantworten:

Was ist die theoretische Konvergenzrate für einen FFT-Giftlöser?

Die theoretische Konvergenz ist exponentiell, solange die Lösung ausreichend glatt ist.

Wie schnell soll diese Energie konvergieren?

EH

Kennt jemand einen Benchmark in 3D, so dass ich eine schnellere Konvergenz als linear sehen kann?

Jede rechte Seite, die eine Lösung erzeugt, die periodisch und unendlich differenzierbar ist (auch über die periodische Grenze hinweg), sollte exponentiell konvergieren.


Im obigen Code ist zufällig ein Fehler aufgetreten, der dazu führt, dass die Konvergenz langsamer als exponentiell ist. Mit dem Code für die glatte Dichte ( https://gist.github.com/certik/5549650/ ) behebt der folgende Patch den Fehler:

@@ -6,7 +6,7 @@ f = open("conv.txt", "w")
 for N in range(3, 180, 10):
     print "N =", N
     L = 2.
-    x1d = linspace(0, L, N)
+    x1d = linspace(0, L, N+1)[:-1]
     x, y, z = meshgrid(x1d, x1d, x1d)

     nr = 3*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z)/4

Das Problem bestand darin, dass die Realraumabtastung den ersten und den letzten Punkt nicht wiederholen kann (die aufgrund der periodischen Randbedingung denselben Wert haben). Das Problem bestand also darin, die Erstbemusterung einzurichten.

Nach dieser Korrektur konvergiert die Dichte in einer Iteration, wie Matt oben sagte. Also habe ich nicht einmal die Konvergenzgraphen gezeichnet.

Man kann jedoch eine schwierigere Dichte ausprobieren, zum Beispiel:

     nr = 3*pi*exp(sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z))/4

dann ist die Konvergenz erwartungsgemäß exponentiell. Hier sind die Konvergenzdiagramme für diese Dichte: Bildbeschreibung hier eingeben Bildbeschreibung hier eingeben


Genial. Tut mir leid, ich war nicht mehr Hilfe!
Aron Ahmadia
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