Gibt es Operator-Splitting-Ansätze für Multiphysics-PDEs, die eine hohe Konvergenz erreichen?

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Angesichts einer Evolution PDE

u_{t} = EIN u + B u

$u_t = Au + Bu$

wo (möglicherweise nichtlineare) Differentialoperatoren sind, die nicht pendeln, besteht ein üblicher numerischer Ansatz darin, zwischen dem Lösen zu wechseln $A,B$

u_{t} = EIN u

$u_t = Au$

und

u_{t} = B u .

$u_t = Bu.$

Die einfachste Implementierung davon ist als Godunov-Aufspaltung bekannt und ist genau 1. Ordnung. Ein weiterer bekannter Ansatz, der als Strang-Aufteilung bekannt ist, ist genau 2. Ordnung. Gibt es Aufteilungsmethoden für Operatoren höherer Ordnung (oder alternative multiphysische Diskretisierungsansätze)?

pde multiphysics operator-splitting

— David Ketcheson
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1

Sind die Begriffe steif oder nicht steif? Haben Sie eine Funktion, die A und B anwendet, oder haben Sie nur einen Algorithmus, der den Zustand von

auf

erhöht? Für den Fall, dass man steif und man nicht steif ist, gibt es viele interessante Methoden.

t^{n}

$t^n$

t^{n + 1}

$t^{n+1}$

— Jed Brown

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Nach meinem Verständnis war die BCH- Formel ein systematischer Weg, um die Exponentialmatrix zweier nichtkommutativer Matrizen zu approximieren.

— Matt Knepley
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Aber führt das nicht zu komplexen Begriffen, auch wenn die PDE real ist? Verwenden die Leute es für Diskretisierungen höherer Ordnung?

— David Ketcheson

1

Nicht aus meinem Gedächtnis (oder der Webseite). Es kommt zu vielen Kommutatoren. In Quantum Many-Body gibt es gute Möglichkeiten, diese Ausdrücke zu vereinfachen.

— Matt Knepley

7

Wenn Sie allgemeine Operatoren A und B betrachten , und wenn Sie nur positive Zeitschritte machen wollen (was in der Regel die Sie benötigen , wenn parabolische Probleme zu lösen), gibt es eine Ordnung Barriere von 2, dh mit jeder Art von Spaltung, können Sie nicht erhalten eine Konvergenzrate von mehr als zwei. Ein elementarer Beweis ist in einem kürzlich erschienenen Aufsatz von S. Blanes und F. Casas, http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf, gegeben .

Es gibt jedoch verschiedene Möglichkeiten, wenn Sie etwas mehr über Ihr Problem wissen:

Angenommen, Sie können Ihre Gleichungen zeitlich rückwärts lösen (wie es beispielsweise für Schrödinger-Gleichungen üblich ist), dann stehen viele Aufteilungen zur Verfügung, siehe das Buch "Geometric Numerical Integration" von Hairer, Lubich und Wanner.
Wenn Ihre Operatoren analytische Halbgruppen erzeugen, dh Sie können komplexe Werte für t (typisch für parabolische Gleichungen) einfügen, wurde kürzlich festgestellt, dass Sie durch Betreten der komplexen Ebene Aufteilungen höherer Ordnung erhalten können. Die ersten Artikel in dieser Richtung stammen von E. Hansen und A. Ostermann, http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf , und von F. Castella, P. Chartier , S. Descombes und G. Vilmart. Die Auswahl komplexer, in gewissem Sinne "optimaler" Aufteilungen ist ein Thema der aktuellen Forschung, zu dem Sie mehrere Artikel auf arxiv finden.

Fazit: Wenn Sie einige Annahmen zu Ihrem Problem machen, können Sie etwas bekommen, aber wenn nicht, dann ist die Reihenfolge 2 das Maximum.

PS .: Ich musste den Link zum Castella et al-Paper wegen Spam-Schutz entfernen, aber Sie können ihn leicht auf Google finden.

— Philipp Dörsek
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Die CCSE- Gruppe am LBNL hat kürzlich die Spectral Deferred Correction (SDC) -Methoden in einem Fluss mit niedriger Machzahl und komplexer Chemie eingesetzt. Sie vergleichen die DEZA-Ergebnisse mit der Strang-Spaltung und die Ergebnisse sind sehr vielversprechend.

Hier ist ein Entwurfspapier mit den Details: Eine verzögerte Korrekturkopplungsstrategie für einen niedrigen Machzahlfluss mit komplexer Chemie

Beachten Sie, dass das SDC-Schema ein iteratives Schema ist, das zu einer hochgradig genauen Kollokationslösung konvergiert, jedoch aus Methoden erster Ordnung aufgebaut ist.

— Matthew Emmett
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2

Der Aufteilungsfehler kann zumindest prinzipiell durch spektral verzögerte Korrekturverfahren reduziert werden. Dies scheint jedoch ein Bereich aktiver Forschung zu sein, der nicht wirklich für den allgemeinen Gebrauch geeignet ist.

— Brian
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2

Eine neue Ressource für Aufteilungsschemata höherer Ordnung, die einige auflistet, finden Sie hier:

http://www.asc.tuwien.ac.at/~winfried/splitting/

— David Ketcheson
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