Was sind die möglichen numerischen Schemata für eine Diffusionsgleichung mit einem nichtlinearen Reaktionsterm?

Für eine einfache konvexe Domäne in 2D haben wir einige die die folgende Gleichung erfüllen: mit bestimmten Dirichlet- und / oder Neumann-Randbedingungen. Meines Wissens wäre die Anwendung der Newtonschen Methode in einem Finite-Elemente-Raum eine relativ einfache Möglichkeit, diese Gleichung numerisch zu lösen. $\Omega$ $u(x)$

- d i v (A \nabla u) + c u^{n} = f

$-\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f$

Meine Fragen sind: (1) Gibt es eine Sobolev-Theorie für die Richtigkeit der entsprechenden Variationsformulierung dieser Gleichung unter der Annahme einer Dirichlet-Randbedingung von Null? Wenn ja, welchen Banach-Raum sollten wir berücksichtigen? (2) Was sind die möglichen numerischen Ansätze für diese Art von Gleichung?

pde finite-element

— Shuhao Cao
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Fragen Sie nach "möglichen numerischen Ansätzen" nach Diskretisierung oder algebraischen Lösern?

— Jed Brown

Ich sehe zwei Ansätze:

1) Beliebig f (u). Setzen Sie einfach f ~ f (u0) auf die rechte Seite der Gleichung, fahren Sie mit einem nichtlinearen Löser fort. Ein Festpunktschema ist eine gute Wahl, da Sie ohnehin kein Jacobian haben. Am einfachsten zu implementieren und zu verwenden, allgemeinste, aber möglicherweise schlechtere Leistung, da Jacobian nicht ausgenutzt werden kann (ist im Allgemeinen unbekannt).

2) f (u) zerlegt in Reihen (Polynom, Fourier). Schwieriger zu implementieren und zu verwenden, kann für einige spezielle f schwierig / unmöglich sein. Im Gegenzug können Sie den Jacobi jedoch nach einer Newton-ähnlichen Methode berechnen und ausnutzen, was im Allgemeinen zu einer überlegenen Leistung führt.

— Dominik Lark
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f

$f$

u

$u$

u^{n}

$u^n$

Sie sollten u ^ n zu f hinzufügen. Dann haben Sie eine einfache Polynomform des Reaktionsterms, die am besten mit Ansatz 2) behandelt wird.

— Dominik Lark