Numerische Quadratur mit Derivaten

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Die meisten numerischen Quadraturmethoden behandeln den Integranden als Black-Box-Funktion. Was ist, wenn wir mehr Informationen haben? Welchen Nutzen können wir insbesondere daraus ziehen, die ersten Ableitungen des Integranden zu kennen? Welche anderen Informationen könnten wertvoll sein?

Insbesondere für Ableitungen: Fehlerschätzungen für die Grundquadratur (Rechteck- / Trapez- / Simpsons-Regeln) sind eng miteinander verbunden. Vielleicht gibt es eine Möglichkeit, die Abtastauflösung vorzuwählen, anstatt sich auf dynamische Adaptivität zu verlassen?

Ich interessiere mich sowohl für den univariaten als auch für den mehrdimensionalen Fall.

quadrature error-estimation

— MRocklin
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Nur eine kleine Korrektur: Das Rechteck, das Trapez und die Simpsonsche Regel sind Newton-Cotes-Regeln, keine Gaußschen Quadraturen.

— Pedro

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Ich denke, das ist nicht ganz das, was Sie sich vorgestellt haben, aber der Vollständigkeit halber wollen wir mit einigen Grundlagen beginnen. Die meisten Quadraturformeln wie Newton-Cotes und Gauß auf der Idee , dass, um das Integral einer Funktion annähernd zu bewerten, können Sie die Funktion durch, zum Beispiel annähernd können ein Polynom , dass Sie dann genau integrieren:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} c_{j} p_{j} (x) d x = \sum_{j} c_{j} \int_{a}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

Newton-Cotes und Gauss basieren auf der Lagrange-Interpolation , dh, Sie interpolieren die angegebene Funktion mit ihren Werten auf einer Menge von Knoten (die für Newton-Cotes einheitlich beabstandet und für Gauss in gewissem Sinne optimal gewählt sind). In diesem Fall , und die Integrale über die Polynom - Grundfunktionen Knoten sind genau die Quadraturgewichte. $x_j$ $c_j = f(x_j)$ $p_j$

Der gleiche Ansatz funktioniert mit Hermite-Interpolation , dh Interpolation unter Verwendung der Werte einer Funktion und ihrer Ableitungen bis zu einer bestimmten Reihenfolge auf einer Menge von Knoten. Nur bei Funktions- und haben Sie (Es gibt eineMatlab-Implementierung

\int_{ein}^{b} f (x) d x \approx \int_{ein}^{b} \sum_{j} f (x_{j}) p_{j} (x) + f^{'} (x_{j}) q_{j} (x) d x = \sum_{j} f (x_{j}) w_{j} + f^{'} (x_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$ davon, wenn Sie sehen möchten, wie es funktioniert.)

Dies hängt mit einer Variante der Gauß-Quadratur zusammen, die als Gauß-Legendre-Quadratur bezeichnet wird und bei der die Knoten genau so ausgewählt werden, dass die Gewichte verschwinden (was eine weitere Erklärung für die Tatsache ist, dass die Gauß-Quadratur mit Knoten genau ). Ich denke, dies beantwortet Ihre Frage im zweiten Absatz zumindest teilweise. Aus diesem Grund wird in der Regel anstelle der Hermite-Interpolation die Gauß-Quadratur verwendet, da Sie die gleiche Reihenfolge mit der gleichen Anzahl von Punkten erhalten, jedoch keine abgeleiteten Informationen benötigen. $\bar w_j$ $N$ $2N-1$

Bei mehrdimensionaler Quadratur besteht das Problem, dass die Anzahl der zu bewertenden Derivate (einschließlich gemischter Derivate) mit zunehmender Reihenfolge sehr schnell zunimmt.

Zurück zu Ihrer Frage: Eine einfache Möglichkeit, abgeleitete Informationen zu nutzen, besteht darin, eine Unterteilung Ihrer Integrationsdomäne zu verwenden und für jede Division eine separate Quadratur zu verwenden. Wenn Sie wissen, dass die Ableitungen Ihrer Funktion in einem Teil der Domäne groß sind, verwenden Sie entweder kleinere Domänen (im Endeffekt eine summierte Quadraturformel) oder eine höhere Quadraturordnung. Dies hängt mit der h- bzw. p-Adaptivität in Finite-Elemente-Methoden zusammen.

— Christian Clason
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Es gibt eine Reihe von "korrigierten" Integrationsregeln, die Ableitungen der Endpunkte aufrufen. Ein einfaches Beispiel ist die korrigierte Trapezregel. Angenommen, wir möchten das Integral approximieren

\int_{ein}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

$n$ $h=(b-a)/n$

T = \frac{h}{2} (f (ein) + 2 f (ein + h) + 2 f (ein + 2 h) + \dots + 2 f (ein + (n - 1) h) + f (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

$h^2$

T^{'} = T - \frac{h^{2}}{12} (f^{'} (b) - f^{'} (ein))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

erhöht die Genauigkeit erheblich. Zum Beispiel betrachten

ich = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

$n=8$ $I$

0,74682413281243

$0.74682413281243$

$T$ $T'$

0,7458656148457, 0,74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

beziehungsweise. Die Fehler sind

| ich - T | = 9.5851796673207534 \times 10^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

und

| ich - T^{'} | = 4.9858868145236102 \times 10^{- 7}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

zeigt eine bemerkenswerte Steigerung der Genauigkeit. Es gibt weitere Korrekturen mit höheren Ableitungen oder ausgehend von anderen Newton-Cotes-Regeln oder Gaußschen Regeln.

— Alasdair
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$\text{polynomial}\times\text{weight function}$

— JM
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Obwohl dieser Thread ziemlich alt ist, dachte ich, dass es nützlich sein könnte, einen Verweis auf ein von Fachleuten begutachtetes Papier zu haben, um einige allgemeine Quadraturregeln zu verallgemeinern.

Nenad Ujevic, "Eine Verallgemeinerung der modifizierten Simpsons Regel und Fehlergrenzen", ANZIAM Journal, Vol. 47, 2005.

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

Ich dachte, es wäre nützlich, eine gute Referenz zu geben, die frei zugänglich ist und Verweise auf andere Artikel enthält.

Wie Alasdair bereits erwähnt hat, kann das Einbeziehen von Ableitungen der Endpunkte die Genauigkeit erheblich verbessern. Zum Beispiel zeigten Ujevic und Roberts, dass das Hinzufügen der ersten Ableitungen zu Simpsons Regel den Fehler auf die sechste Ordnung im Gitterabstand reduziert, wohingegen es sich um die vierte Ordnung ohne die Ableitungen handelt. Das Ujevic-Papier zeigt, dass noch engere Fehlergrenzen gefunden werden können.

N. Ujevic und AJ Roberts, Eine korrigierte Quadraturformel und Anwendungen, ANZIAM J., 45 (E), (2004), E41 – E56. http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

(Christian Clason schlug vor, dass ich einen Kommentar in die Antwort einfüge, weil er meinte, dass die Referenzen, die ich gebe, gut sind und sie möglicherweise verloren gehen, wenn Kommentare irgendwann gelöscht werden.)

— Lysistrata
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Können Sie die im Artikel präsentierten Ergebnisse kommentieren?

— Nicoguaro

Ich kann jetzt, dass ich genug Wiederholungspunkte habe! Ich dachte, es wäre nützlich, eine gute Referenz zu geben, die frei zugänglich ist und Verweise auf andere Artikel enthält. Wie Alasdair bereits erwähnt hat, kann das Einbeziehen von Ableitungen der Endpunkte die Genauigkeit erheblich verbessern. Zum Beispiel zeigten Roberts und Ujevic in Referenz 6 der Veröffentlichung, dass das Hinzufügen erster Ableitungen zu Simpsons Regel den Fehler auf die 6. Ordnung im Gitterabstand reduziert, wohingegen es sich um die 4. Ordnung ohne die Ableitungen handelt. Das Ujevic-Papier zeigt, dass noch engere Fehlergrenzen gefunden werden können.

— Lysistrata

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@ Lysistrata Das ist eine nette Referenz. Können Sie Ihre Kommentare in der Antwort selbst bearbeiten? Kommentare können verschwinden, und es wäre schade, sie zu verlieren.

— Christian Clason