Extrahieren der Diagonale einer ungefähr diagonalen Matrix, wenn wir ihre Einträge nicht kennen

Was ist ein guter Weg, um die Diagonale aus einer symmetrischen Matrix zu extrahieren, die bereits fast diagonal ist, bei der Sie jedoch keine Matrixelemente haben (nur die Möglichkeit, sie auf Vektoren anzuwenden)?

Weitere Einschränkungen sind: (1) das n-fache Anwenden der n-mal-n-Matrix zum expliziten Konstruieren der Diagonale wäre unerschwinglich kostspielig, und (2) die kleinen Elemente der Diagonale sind zusätzlich zu den großen Elementen wichtig.

Hier ist ein Beispielbild des Matrixtyps, aus dem ich die Diagonale extrahieren möchte (in einem kleinen Testfall):

Ich werde meine eigene Frage beantworten, da die folgende Methode sehr effektiv zu sein scheint. Ich mache es zu einer Antwort, damit die Leute es unabhängig von der Frage positiv oder negativ bewerten können, wenn sie denken, dass es gut oder schlecht ist.

Antwort: Verwenden Sie eine randomisierte Matrixprüfung, die auf die Diagonale der Matrix angewendet wird.

Sei der Operator, dessen Diagonale wir finden möchten, und sei eine kleine Anzahl von Gaußschen Zufallsvektoren. dann auf die Zufallsvektoren an, um und das folgende Minimierungsproblem der kleinsten Quadrate zu lösen: $A$$\omega_1,\omega_2,..,\omega_k$$A$$A \omega_1, A \omega_2, ..., A \omega_k$

$$\min_{\text{diagonal }D} ||D \omega_1-A\omega_1||^2 + ||D \omega_2-A\omega_2||^2 + ... + ||D \omega_k-A\omega_k||^2.$$

Das Minimum hat die genaue Formel,

$$d_i=\frac{\omega_1^i A \omega_1^1 + \omega_2^i A \omega_2^i... + \omega_k^i A \omega_k^i}{(\omega_1^i)^2 + (\omega_2^i)^2 + ... + (\omega_k^i)^2}.$$

Matlab-Code zum Beispiel:

omegas = randn(16,3); 
dprobe=sum(omegas.*(A*omegas),2)./sum(omegas.^2,2);

In meiner Beispielmatrix mit 3 Abtastvektoren vergleichen sich die exakte Diagonale und die untersuchte Diagonale wie folgt:

[dprobe, diag(A)]

ans =

1.0e+04 *

2.3297    2.4985
0.4596    0.4921
0.1322    0.0897
0.2838    0.1764
0.0989    0.0999
0.0106    0.0071
0.0068    0.0068
0.0469    0.0571
0.0070    0.0070
0.0355    0.0372
0.0059    0.0060
0.0071    0.0064
0.0067    0.0067
0.0026    0.0021
0.0012    0.0012
0.0015    0.0013

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Update: Ich habe experimentiert, diese Ideen auf symmetrische Blockmatrizen anzuwenden, da eine Matrix, mit der ich arbeite, fast blockdiagonal in einer Wavelet-ähnlichen Basis ist. Es scheint ziemlich gut für das Erstellen von Vorkonditionierern zu funktionieren, solange die Matrix "blockdiagonal dominant" ist (Definition ist etwas schwierig) und solange Sie die rekonstruierten Blöcke der kleinsten Quadrate symmetrisieren.

Recall , dass eine Matrix in Blöcke partitioniert ist block-diagonal-dominant , wenn $A_{i,j}$

$$||A_{i,i}^{-1}||^{-1} \ge \sum_j ||A_{i,j}||.$$

Gegeben Gaußsche Zufall ‚s wie oben, versuchen wir , die folgende Least-Squares - Block diagonal Rekonstruktion zu finden:$\omega$

$$\min_{\mathrm{block~diagonals~}B} ||B \omega_1-A\omega_1||^2 + ||B \omega_2-A\omega_2||^2 + ... + ||B \omega_k-A\omega_k||^2.$$

Nach einigen Tensorproduktmanipulationen können Sie die genaue Formel für den -ten Block indem Sie die lokalen Probleme lösen:$l$$\tilde{B}^{(l)}$

$$\tilde{B}^{(l)} = [(A\omega_1)^{(l)}\omega_1^{(l)T} + ... + (A\omega_k)^{(l)}\omega_k^{(l)T}][\omega_1^{(l)}\omega_1^{(l)T} + ... + \omega_k^{(l)}\omega_k^{(l)T}]^{-1},$$

wobei und die Teile von und , die den Indizes des -ten Blocks entsprechen. ω ( l ) i A ω i ω i$(A\omega_i)^{(l)}$$\omega_i^{(l)}$$A\omega_i$$\omega_i$$l$

Wenn ich nur diese , scheint die Vorkonditionierung ziemlich schlecht zu sein, aber wenn ich wie folgt symmetriere,$\tilde{B}$

$$B^{(l)} = (\tilde{B}^{(l)} + \tilde{B}^{(l)T})/2,$$

In meinen Experimenten wird es fast so gut, als hätte ich die wahren Diagonalblöcke verwendet (oft besser!). Hier ist eine Beispielmatrix in Bildern,