Lax-Wendroff-Schema höherer Ordnung?

Angenommen, wir wollen ein hyperbolisches Erhaltungsgesetz lösen . Ich benutze sehr gerne Lax-Wendroff, das liest $u_t+f(u)_x=0$

$u_j^{n+1} = u_j^n -\frac{\Delta t}{\Delta x}(g(u_{j+1}^n,u_j^n)-g(u_j^n,u_{j-1}^n))$

$g(v,w) = \frac12(f(v)+f(w)) - \frac{\Delta t}{2\Delta x}\vert\frac{f(w)-f(v)}{w-v}\vert^2(w-v)$

oder für (lineare Advektion), $f(u)=au$

. $g(v,w)=\frac12a((v+w)-\frac{\Delta t}{\Delta x}a(w-v))$

Meine Frage: Gibt es etwas Ähnliches, das eine höhere Ordnung hat? Ich spreche nicht von diesen ausgefallenen hochauflösenden (W) ENO-, MUSCL-, ... Schemata - nur einem einfachen stabilen Schema dritter oder vierter Ordnung, das für beliebige funktioniert . $f$

fluid-dynamics hyperbolic-pde

— Anke
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Inwiefern ähnlich? Und welche "ausgefallenen" Dinge disqualifizieren eine Antwort?

— David Ketcheson

g

$g$

g (v_{0}, \dots, v_{3}) = \frac{7}{12} (f (v_{1}) + f (v_{2})) - \frac{1}{12} (f (v_{0}) + f (v_{3}))

$g(v_0,\dots,v_3) = \frac{7}{12}(f(v_1)+f(v_2)) - \frac{1}{12}(f(v_0) + f(v_3))$

Es gibt viele Schemata höherer Ordnung. Aber nach Godunovs Theorem kann nur das Schema erster Ordnung monoton sein und daher keine Schwingungen erzeugen. Diese Ressource gibt einen kurzen Überblick über die Konstruktion und Analyse von Finite-Differenzen-Schemata.

$g(u_{j+{1}},u_{j})$ $j + \frac{1}{2}$

Dann werden die Zellenwerte unter Verwendung dieser Flüsse aktualisiert.

Leveques Buch "Finite-Volumen-Methoden für hyperbolische Probleme" gibt hierzu detaillierte Informationen. Abhängig von Ihrer Wahl der Schablone können Sie ein Schema beliebig hoher Ordnung erstellen. Es wird jedoch immer Schwingungen nahe der Diskontinuität geben, wenn es sich um ein Schema hoher Ordnung handelt.

Andere Quellen für Schemata hoher Ordnung sind:

1) DRP- Schemata (in diesem Papier wird auch die Formulierung von Standard-FD-Schemata beliebiger hoher Ordnung erörtert)

2) Diskontinuierliche / kontinuierliche Galerkin-Methoden (Diese können eine beliebig hohe Genauigkeitsordnung haben, aber die Rekonstruktion findet im Gegensatz zu FVM innerhalb eines Elements statt. Zellgemittelte Werte werden nicht für die Rekonstruktion verwendet.)

3) Spektralmethoden

Einige Ressourcen für die numerischen Schemata,

1) "Finite-Volumen-Methoden für hyperbolische Probleme", Randall Leveque

2) "Computational Gasdynamics", Culbert Laney (diskutiert ENO, MUSCL auch gut)

3) "Riemann-Löser und numerische Methoden für die Fluiddynamik", EFToro

— Subodh
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Vielen Dank für die Ressource, sieht aus wie eine umfangreiche Referenz. Was den Rest Ihrer Antwort betrifft: Ich bin mir der Schwierigkeiten mit Diskontinuitäten bewusst. Meine Frage bezog sich jedoch explizit auf Methoden vom Typ Lax-Wendroff. Lax-Wendroff ist stabil, FTCS zum Beispiel nicht. Natürlich gibt es Schwingungen, aber ich interessiere mich trotzdem für diese Art von Methode.

— Anke