Integration einer harmonischen Funktion über einem Tetraeder

Angenommen, ich habe eine Funktion , die ich über eine Tetraeder- integrieren möchte . Wenn willkürlich wäre, wäre die Gauß-Quadratur eine gute Lösung, aber ich weiß zufällig, dass harmonisch ist. Wie viel kann die Gauß-Quadratur mit diesen Informationen beschleunigt werden? $f : \mathbf{R}^3 \to \mathbf{R}$ $T \subset \mathbf{R}^3$ $f$ $f$

Wenn beispielsweise stattdessen eine Kugel wäre, ergibt die einmalige Auswertung von in der Mitte der Kugel die genaue Antwort durch die Mittelwerteigenschaft. $T$ $f$

Eine Suche ergab das folgende Papier, das interessant ist, aber den Kugelfall in eine andere Richtung verallgemeinert (zu polyharmonisch statt weg von Kugeln):

Bojanov und Dimitrov, erweiterte Gaußsche Kubaturformeln für polyharmonische Funktionen

quadrature

— Geoffrey Irving
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Ich habe etwas gefunden, das interessant sein könnte. http://www.math.kth.se/~gbjorn/exact.pdf

Ich hoffe das hilft, Tom

— Tom
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Das ist ein interessantes Papier, aber es sieht so aus, und seine Referenzen behandeln nur Integrale von Differentialoperatoren harmonischer Funktionen. Wissen Sie, ob sie für gerade Integrale verwendet werden können?

— Geoffrey Irving

Ich frage mich, ob die Einführung einer Quadraturformel mit dem sogenannten "Poisson-Kernel" ( en.wikipedia.org/wiki/Poisson_kernel ) helfen könnte ... Ansonsten weiß ich, dass einige xfem-Techniken harmonische Funktionen verwenden, um den FE-Raum anzureichern. und sollte daher spezifische Quadraturmethoden zur Integration der Variationsformen (?) verwenden.

— Tom