Asymptotische Konvergenz der Lösung zu einem parabolischen pde zur Lösung eines elliptischen pde

Angenommen, ich habe das parabolische System mit Dirichlet-Randbedingungen und Anfangsbedingung

u_{t} = \nabla \cdot (k (x) \nabla u) + f, (x, t) \in Ω \times I

$u_t=\nabla\cdot(k(x)\nabla u)+f,\quad (x,t)\in\Omega\times I$

u = g, x \in \partial Ω

$u=g, \quad x\in\partial\Omega$

u (x, t) = h, t = 0.

$u(x,t)= h,\quad t=0.$

In der Technik interessieren wir uns häufig mehr für das asymptotische (stationäre) Verhalten dieser PDE als für das vorübergehende Verhalten. Daher vernachlässigen wir manchmal den Zeitableitungsterm und lösen stattdessen das elliptische System Die Annahme ist, dass über unendliche Zeit .

- \nabla \cdot (k (x) \nabla u) = f, (x, t) \in Ω \times I

$-\nabla\cdot(k(x)\nabla u)=f,\quad (x,t)\in\Omega\times I$

lim_{t \to \infty} u_{p a r a b o l i c} (x, t) = u_{e l l i p t i c} (x, t)

$\lim_{t\rightarrow \infty}u_{\mathrm{parabolic}}(x,t)= u_{\mathrm{elliptic}}(x,t)$

Ich habe beobachtet, dass diese Grenze wahr ist , wenn $f\equiv 0$ ist, aber ich bin nicht sicher, ob dies für willkürliches der Fall ist $f$ oder ob es andere notwendige Bedingungen gibt, um zu gewährleisten, dass diese Grenze wahr ist. Müssen die Randbedingungen asymptotisch auf einen konstanten Wert konvergieren, damit die parabolische Lösung zur elliptischen Lösung konvergiert?

Obwohl ich meine Frage im fortlaufenden Fall formuliert habe, bin ich auch neugierig, ob die gleichen Bedingungen für den diskreten Fall zutreffen. Das heißt, wenn ich ein stabiles und konsistentes Finite-Differenzen-Schema verwende, um $u_{\mathrm{parabolic}}$ und zu approximieren $u_{\mathrm{elliptic}}$ , sollte ich erwarten

lim_{t \to \infty} u_{p a r a b o l i c}^{f d m} (x, t) = u_{e l l i p t i c}^{f d m} (x, t)

$\lim_{t\rightarrow \infty}u_{\mathrm{parabolic}}^\mathrm{fdm}(x,t)= u_{\mathrm{elliptic}}^\mathrm{fdm}(x,t)$ wenn

u_{e l l i p t i c}^{f d m}

$u_{\mathrm{elliptic}}^\mathrm{fdm}$ und

u_{p a r a b o l i c}^{f d m}

$u_{\mathrm{parabolic}}^\mathrm{fdm}$ werden auf demselben räumlichen Gitter diskretisiert und

Δ t \to \infty

$\Delta t\rightarrow\infty$ ?

— Paul
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Ja, mit Dirichlet-Randbedingungen haben Sie immer eine exponentielle Konvergenz zum stabilen Zustand. Jedes PDE-Buch hat einen Beweis. Eine nette Erklärung aus numerischer Sicht finden Sie in Kapitel 2 des FDM-Buches von LeVeque.

— David Ketcheson
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Das gleiche sollte gelten, wenn es gemischte Bedingungen gab (Neumann und Dirichlet), oder?

— Paul

@Paul Ja, der einzige schwierige Fall in 1D ist, wenn beide Grenzen Neumann sind.

— David Ketcheson