Wenn wir Bernstein-Polynome in der Anwendung verwenden

Wenn es vorzuziehen ist, Bernstein-Polynome zu verwenden, um eine stetige Funktion zu approximieren, anstatt die einzigen folgenden vorläufigen numerischen Analysemethoden zu verwenden: "Lagrange-Polynome", "Einfache Operatoren für endliche Differenzen".

Die Frage ist, diese Methode zu vergleichen.

Bernstein-Polynome und Lagrange-Polynome überspannen beide dieselben Räume. In Bezug auf die möglichen Funktionen, die man darstellen kann, macht die Verwendung der einen oder anderen keinen Unterschied. Wenn Sie diese jedoch als Basisfunktionen entweder in einer Finite-Elemente-Methode oder in einem Interpolationsproblem verwenden möchten, hängen die spektralen Eigenschaften des von Ihnen erstellten linearen Operators von den Polynomen ab, die Sie als Basis auswählen. Dies kann zu Unterschieden in der Konvergenz iterativer Löser führen. Wenn jedoch kein linearer Algebrafehler vorliegt, erhalten Sie auf beiden Grundlagen dieselbe Antwort.

Dies mit Finite-Differenzen-Operatoren zu vergleichen, ist eine andere Geschichte. Die Verwendung von Polynomen gibt Ihnen Fehlerannäherungen für eine kontinuierliche Norm. Ich kenne mich mit endlichen Unterschieden nicht so gut aus, aber ich verstehe, dass Sie nur an den Orten, die Sie diskretisieren möchten, eine Fehlerschätzung erhalten. Was zwischen diesen Punkten passiert, ist nicht so klar.

Ich verwende Bernstein-Polynome in einer Kollokationsmethode, um Randwertprobleme für ODEs und PDEs zu lösen. Sie sind ziemlich interessant.

Die Konvergenz war für einige lineare BVPs exponentiell, im Vergleich zu Chebyshev-Kollokation, Legendre Galerkin und Tau jedoch etwas langsamer.

Hier ist die Abbildung, in der die Konvergenzraten mit einigen Chebyshev-Spektralmethoden verglichen werden. Das Beispielproblem ist lineares BVP:

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

$C=-4e/(1+e)^2$

Ich habe diese Figur auch auf figshare hochgeladen .

Wenn Sie möchten, können Sie den Code überprüfen, den ich schreibe:

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

Und hier ist das Arxiv- Papier, das ich über das Lösen elliptischer BVPs auf einem Quadrat unter Verwendung der Bernstein-Polynomkollokation geschrieben habe.

Letztes Jahr feierten sie ein hundertjähriges Bestehen von Bernstein-Polynomen - eine weitere interessante Tatsache.

Das folgende Papier zeigt, dass die Darstellung von Polynomen in Bernstein-Form in vielen Fällen zu numerisch stabilen Algorithmen führt:

RT Farouki, VT Rajan, Über den numerischen Zustand von Polynomen in Bernstein-Form, Computer Aided Geometric Design , Band 4, Ausgabe 3, November 1987, Seiten 191-216, DOI: 10.1016 / 0167-8396 (87) 90012-4

Die Kontrollpunkte einer Bézier-Kurve liegen nahe an der Kurve, jedoch nicht unbedingt auf der Kurve. Dies ist genau die gleiche Situation wie bei der Approximation durch Bernstein-Polynome, und tatsächlich sind die Bernstein-Polynome die Grundlage für die Bézier-Kurve. Sie könnten eine Bézier-Kurve hoher Ordnung verwenden, um eine glatte Linie durch eine Kurve zu ziehen, die durch verrauschte Punkte gegeben ist. Aufgrund des hohen Rechenaufwands würde dies auch niemand tun. Tatsächlich wird aus genau diesem Grund nur selten eine Polynominterpolation hoher Ordnung verwendet, nur die Chebyshev-Interpolation ist gelegentlich eine Ausnahme von dieser Regel.

Wenn es sich jedoch nur um eine Polynominterpolation niedriger Ordnung handelt, ist die intuitive Spezifikation einer Bézier-Kurve über Kontrollpunkte ein klarer Vorteil gegenüber anderen Methoden. In dieser Hinsicht sind NURBS jedoch noch besser, aber zumindest eine Bézier-Kurve ist ein Sonderfall eines NURBS, und Bernstein-Polynome sind auch ein wichtiger Bestandteil für NURBS.