Approximation der partiellen Ableitung einer Funktion der stochastischen Variablen

Sei ein Ito-Prozess wobei ein Wiener-Prozess ist.$X_t$

$$dX_t=a(X_t,t)dt + b(X_t,t)dW_t$$ $W_t$

Eine numerische Annäherung der Lösung dieser Gleichungen wird von Milstein vorgeschlagen:

$$X_T=X_t+a(X_t,t) \Delta t+ b(X_t,t)\Delta W_t+ \frac{1}{2}b(X_t,t) \frac{\partial{b(X_t,t)} }{\partial{x}} \left( \Delta W_t^2 - \Delta t\right)$$

wo

$\Delta t = T-t$

$\Delta W_t = W_T-W_t$

Gemäß der Literatur kann dies über die Näherung (bekannt als starkes Schema der expliziten Ordnung 1 von Platen) in ein ableitungsfreies Schema umgewandelt werden:

$$b(X_t,t) \frac{\partial{b(X_t,t)} }{\partial{x}} \approx \frac{b(X_t+a(X_t,t) \Delta t+ b(X_t,t)\sqrt{\Delta t},t)-b(X_t,t)}{\sqrt{\Delta t}}$$

(Siehe: 2001, Kloeden, "Ein kurzer Überblick über numerische Methoden für stochastische Differentialgleichungen" )

Kann jemand helfen zu verstehen, wie diese Annäherung an die partielle Ableitung erhalten wird?

Vielen Dank

Dies wird in Abschnitt 11.1 von Kloeden und Platen, "Numerische Lösung stochastischer Differentialgleichungen", erörtert . Dort heißt es:

Mit der deterministischen Taylor-Erweiterung kann leicht gezeigt werden, dass das Verhältnis ist eine Vorwärtsdifferenznäherung für bei wenn wir Terme höherer Ordnung vernachlässigen.

$$\frac{1}{\sqrt\Delta}\left\{b(\tau_n,Y_n + a\Delta + b\sqrt\Delta) - b(\tau_n,Y_n)\right\}$$ $b\frac{\partial{b}}{\partial{x}}$$(\tau_n,Y_n)$

Ein guter Weg, dies zu verstehen, ist, dass die "durchschnittliche Größe eines Wiener-Prozessschritts " . Dies liegt daran, dass die Varianz . Wenn Sie also über die Zeitskala für alles nachdenken, was mit als , folgt die Formel.$dW$$\sqrt{\Delta t}$$\Delta t$$b$$\sqrt{\Delta t}$

Das ist natürlich nur Intuition. Klodens numerische Lösung stochastischer Differentialgleichungen und Taylor-Approximationen für stochastische partielle Differenzierungen macht dies strenger.