Welche Zeitintegrationsmethoden sollten wir für hyperbolische PDEs anwenden?

Wenn wir die Methode der Linien zur Diskretisierung (getrennte zeitliche und räumliche Diskretisierung) hyperbolischer PDEs verwenden, die wir nach räumlicher Diskretisierung mit unserer bevorzugten numerischen Methode (fx. Finite-Volumen-Methode) erhalten, ist es in der Praxis von Bedeutung, welchen ODE-Löser wir für die zeitliche Diskretisierung verwenden (TVD / SSP / etc)?

Einige zusätzliche Informationen hinzugefügt: Das Genauigkeitsproblem kann ein Problem für nicht reibungslose Probleme sein. Es ist bekannt, dass nichtlineare hyperbolische PDEs Schocks in endlicher Zeit entwickeln können, obwohl die anfängliche Lösung glatt ist. In diesem Fall kann sich die Genauigkeit bei Methoden höherer Ordnung auf die erste Ordnung verschlechtern.

Die ODE-Stabilitätsanalyse wird normalerweise auf der Grundlage einer Linearisierung durchgeführt, um ein lineares semidiskretes System von ODEs der Form q_t = Jq (mit qa Störungsvektor) zu erhalten, wobei die Eigenwerte von J innerhalb des absoluten Stabilitätsbereichs der gewählten Zeitskalierung liegen sollten. schrittweise Methode. Alternative Strategien sind die Verwendung von Pseudospektren oder möglicherweise einer Energiemethode für die Stabilitätsanalyse.

Ich verstehe, dass die Motivation für TVD / SSP-Methoden darin besteht, störende Schwingungen zu vermeiden, die durch die Zeitschrittmethoden verursacht werden und zu unphysischem Verhalten führen können. Die Frage ist, ob die Erfahrung zeigt, dass diese Arten von Zeitschrittmethoden beispielsweise einem klassischen Arbeitspferd als explizite Runge-Kutta-Methode oder anderen überlegen sind. Offensichtlich sollten sie bessere Eigenschaften für Problemklassen aufweisen, bei denen die Lösung Schocks aufweisen kann. Man könnte daher argumentieren, dass wir nur diese Art von Methoden für die Zeitintegration verwenden sollten.

Ich weiß nicht, ob Sie noch an einer Antwort interessiert sind, aber ich gehe trotzdem:

Sie sagten bereits, dass Sie über die Schockbildung in nichtlinearen Gleichungen Bescheid wissen. Genau deshalb müssen Sie Ihren Zeitintegrator sorgfältig auswählen. Es ist sinnlos, eine räumliche Diskretisierung nach TVD anzuwenden, wenn die zeitliche Diskretisierung nicht stimmt - Sie werden dieselben Schwingungen sehen, die Sie wahrscheinlich mit numerischen Flüssen höherer Ordnung gesehen haben.

Worauf es ankommt, ist, dass Forward Euler funktioniert. Sie haben in Ihrer Frage bereits SSP (Strong Stability Preserving) erwähnt. Dies ist eine spezielle Klasse von Runge-Kutta-Methoden, die davon Gebrauch macht. Grundsätzlich müssen Sie die Koeffizienten der Methode so wählen, dass sie als konvexe Kombination von Eulerschritten geschrieben werden können. So bleiben Eigenschaften wie TVD und dergleichen erhalten.

Es ist ein sehr gutes Buch über SSP Methoden von Gottlieb, Ketcheson und Shu genannt „Starke Stabilität bewahren Runge-Kutta und Mehrstufige Zeit Diskretisierungen“ amazon Link

Ja, das ist wichtig. Die üblichen zwei Dinge, über die man sich Sorgen machen muss:

1. Richtigkeit. Einige ODE-Schemata sind genauer als andere, höherer Ordnung und so weiter. Als Faustregel gilt, dass Sie eine Methode mit einer Genauigkeit wählen, die Ihrer räumlichen Diskretisierung ähnelt.

2. Stabilität. Bei hyperbolischen Problemen erwarten Sie, dass der Operator reine imaginäre Eigenwerte hat. Sie möchten also einen ODE-Löser, der einen Teil des imaginären Zugriffs in seiner Stabilitätsdomäne enthält. Siehe zum Beispiel Anhang G in Fornberg, Ein praktischer Leitfaden für Pseudospektralmethoden.

Mit hyperbolischen Gleichungen möchten manche Menschen sicherstellen, dass ihre Lösungen immer positiv sind, daher gibt es verschiedene Arten von Filtern und Tricks, um dies sicherzustellen. Aber ich weiß fast nichts darüber.

Ich bin kein Experte, aber ich dachte, ich würde versuchen zu antworten, da die Frage schon eine Weile hier ist.