Viele numerische Methoden für hyperbolische PDEs basieren auf der Verwendung von Riemann-Solvern. Solche Löser sind für die genaue Erfassung von Stoßwellen unerlässlich. Es gibt eine Reihe solcher Löser für die am besten untersuchten Systeme (z. B. Exaktlöser, Roe-Löser, HLL-Löser). Wie soll ich entscheiden, welche ich verwenden soll?
Antworten:
Für die numerische Lösung hyperbolischer PDEs ist der Einsatz von Riemann-Lösern ein wesentlicher Bestandteil konservativer Stoßerfassungsmethoden zur genauen Simulation von Wellenproblemen, die Schocks aufweisen können (diskontinuierliche Sprünge in konservierten Variablen). Um genaue Lösungen für solche Probleme zu erhalten, müssen wir geeignete Aufwickeltechniken anwenden - der Riemann-Löser ist dafür verantwortlich. Der Riemann-Löser sucht nach einer genauen Lösung des Grenzflächenproblems zwischen Zellen (fx. In finiten Volumina) oder Elementen (fx. In diskontinuierlichen Galerkin-Finite-Elemente-Methoden). Die Lösung dieses Schnittstellenproblems basiert auf der Lösung beider Seiten der Schnittstelle und versucht, diese als Grundlage für eine genaue Rekonstruktion des (numerischen) Flusses (in Form von konservierten Variablen) über die Schnittstelle zu verwenden.
Es gibt zwei Standardansätze zur Lösung solcher Riemann-Probleme (lokal zur Schnittstelle), nämlich exakte und ungefähre Riemann-Löser. Für viele PDEs gibt es keine exakte geschlossene Lösung. In diesem Fall müssen wir auf annähernde Riemann-Löser zurückgreifen. In der Praxis kann es auch (zu) teuer sein, die Riemann-Probleme genau zu lösen. In diesem Fall kann es praktischer sein, auf ungefähre Riemann-Löser zurückzugreifen. Aus dem gleichen Grund werden Lax-Freidrichs-Flussmittel häufig als einfaches Mittel verwendet.
Grundsätzlich hängt die Wahl zwischen Riemann-Lösern davon ab, wie genau man die Wellengeschwindigkeiten der Lösung und die daraus resultierende Effizienz darstellen möchte.
Es ist problemabhängig. Das Riemann-Problem basiert auf Daten von beiden Seiten der Zellschnittstellen. Um den Fluss an der Grenzfläche anhand dieser Daten zu rekonstruieren, müssen Informationen über die vollständige Wellenstruktur der betreffenden hyperbolischen PDE vorliegen. Dies macht das Riemann-Problem problemabhängig und damit auch die Wahl des Riemann-Lösers. Kurz gesagt, exakte Löser versuchen, die vollständige Wellenstruktur zu berücksichtigen. Der Roe-Löser basiert auf der lokalen Approximation (durch Linearisierung und spezielle Mittelung) der lokalen Wellenstruktur. Der HLL-Löser basiert auf der Schätzung von zwei dominanten Wellengeschwindigkeiten in der lokalen wellenförmig strukturieren und dann konservieren, indem die Rankine-Hugoniot-Bedingung erfüllt wird, um Stöße oder Kontaktdiskontinuitäten zu überbrücken.
Daher hängt die Wahl zwischen spezifischen Solvern, exakten Solvern oder ungefähren Roe / HLL / etc-Solvern davon ab, ob ein Gleichgewicht zwischen der Genauigkeit (bei der Nachahmung der zugrunde liegenden Physik der Modellgleichungen) und den Effizienzanforderungen hergestellt wird. Letztendlich sind es - wie ich es sehe - in der praktischen Anwendung oft Effizienzanforderungen, die die Verwendung von ungefähren Riemann-Solvern (fx. Vom Lax-Friedrichs-Typ) vorschreiben.
Eine gute Darstellung des Themas liefert EF Toro in seinem Lehrbuch "Riemannsche Löser und numerische Methoden für die Strömungsmechanik", Springer.
Ich bin zu der Überzeugung gelangt, dass man für Zahlen niedriger Ordnung Riemann-Löser hoher Qualität und für Zahlen hoher Ordnung Riemann-Löser niedriger Qualität verwenden kann. Intuitiv gibt es einige FLOPs, die notwendig sind, um die Physik zu erfassen, unter der man abgespritzt wird.
Und ja, diese Antwort enthält auch aus der Perspektive der Bewertungsmetrik keinen Inhalt ...