Effizienter Vorkonditionierer für Augmented Lagrangian

Ich möchte ein nichtlineares Problem mit nichtlinearen Gleichheitsbeschränkungen lösen und verwende ein erweitertes Lagrange mit einem Term der Strafregulierung, der bekanntlich die Bedingungszahl meiner linearisierten Systeme verdirbt (bei jeder von mir genannten Newton-Iteration). . Je größer die Strafe ist, desto schlechter ist die Konditionszahl. Würde jemand einen effizienten Weg kennen, um diese schlechte Konditionierung in diesem speziellen Fall loszuwerden?

Genauer gesagt verwende ich den klassischen Augmented Lagrangian, weil ich viele Einschränkungen habe, die im Allgemeinen überflüssig sein können. Es ist daher sehr praktisch, die Bedingungen direkt in die ursprünglichen Variablen zu integrieren. Ich habe andere ausgefeiltere Ansätze ausprobiert, die auf variablen Eliminierungen oder effizienten Vorkonditionierern direkt auf dem KKT-System basieren, aber aufgrund von Redundanzbeschränkungen habe ich einige Probleme.

Das Problem bezüglich der Variablen wird wie folgt formuliert: my Lagrangian als die Form L ( u , λ ) : = W ( u ) + ρ λ $\mathbf u =[u_1,\cdots,u_n]$

$$\mathcal L(\mathbf u,\lambda):= \mathcal W(\mathbf u) + \rho \lambda^T \,c(\mathbf u) + \frac{\rho}{2} c^2(\mathbf u)$$

So Im allgemeinen ist das Ziel bei jedem Newton - Iteration ein Problem von der Form zu lösen mit (wir Tropfen Hessian des constraint) A ( u , ρ ) : = ∇ 2 u W ( u ) + ρ C T ( u ) C ( u ) und b ( u , ρ ) : = - ( ∇ u W ( u ) +

$$A \Delta u = b$$ $$A(\mathbf u,\rho): = \nabla_{\mathbf u}^2 \mathcal W(\mathbf u) + \rho C^T(\mathbf u)C(\mathbf u)$$ und das Kapital C ist für C ( u ) bestimmt : = ∇ u c ( u ) . $$b(\mathbf u,\rho) :=- \big(\nabla_{\mathbf u}\mathcal W(\mathbf u) +(\rho +\lambda^Tc(\mathbf u)) \nabla_{\mathbf u}(\mathbf u)\big)$$ $C$$C(\mathbf u) := \nabla_{\mathbf u} c(\mathbf u)$

Vielen Dank.

Abhängig von der Problemstruktur können Sie das schlecht konditionierte Augmented Lagrangian-System direkt lösen. Zum Beispiel kann BDDC / FETI-DP eine nahezu inkompressible Elastizität in ursprünglicher Form mit einer Konvergenzrate unabhängig vom Poisson-Verhältnis (stückweise konstant auf Subdomänen, aber mit willkürlichen Sprüngen) lösen. In ähnlicher Weise können Multigrid-Methoden, die den volumetrischen Modus exakt reproduzieren, diese Eigenschaft haben. Solche Methoden sind problemspezifisch und im Allgemeinen führen große Strafen zu Systemen, die nur schwer vorkonditioniert werden können.

Um mehr Flexibilität bei der Auswahl der Vorkonditionierer zu ermöglichen, empfehle ich, explizite duale Variablen einzuführen und das größere Sattelpunktsystem zu schreiben

$$\begin{pmatrix}A & C^T \\ C & -\rho^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix}$$

$A - \tilde\rho C^T C$$\tilde \rho \le \rho$$-\rho^{-1} - C A^{-1} C^T$PCFIELDSPLIT

Wenn Sie die Ursache Ihres Problems genauer bestimmen können (was minimieren Sie und was ist die Einschränkung), kann ich möglicherweise spezifischere Referenzen vorschlagen.

Wenn Sie zusätzliche Variablen für die verderblichen Terme in die KT-Bedingung einfügen, finden Sie ein größeres symmetrisches System, das sich numerisch gut verhält und bei dem nur die Umkehrung des Straffaktors in die Matrix eintritt.

$(A+\rho C^TC)x=b~$$\rho$$y=\rho Cx$$Ax+C^Ty=b$$Cx-\rho^{-1}y=0$ , was im Allgemeinen gut konditioniert ist.