Schwierigkeiten mit der Spektralmethode unter Verwendung von Chebyshev-Polynomen

Ich habe ein bisschen Schwierigkeiten, ein Papier zu verstehen. Die Arbeit verwendet die Spektralmethode, um nach einem Eigenwert zu suchen, der aus einem System gekoppelter ODEs stammt. Ich werde jetzt nur eine Gleichung aufschreiben, weil es ausreicht, um auf den Kern meiner Frage (n) zu kommen.

Die Gleichung lautet

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

Ich führe die Ableitung durch und bekomme

(Gl. 1) $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

Nun sollte ich laut dem Papier in der Lage sein, Gleichgewichtsgrößen ) des Systems als Chebyshev-Polynome der Form zu erweitern$(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

$B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$ , wobei die Polynome sind. Ich kann das Verwendung des Codes erhalten, den ich in Mathematica schrieb. Auch und die Domäne von ist .b i y = 2 ( r / R ) - 1 r ( 0 , R $T_i[y]$$b_i$$y = 2(r/R) -1$$r$$(0,R)$

Das Papier gibt auch an, dass die Funktionen ( ) erweitert werden können als , und dass im Allgemeinen ein Term wie ausgedrückt werden kann alsF [ r ] = ( $V,W$B[r]F[r$F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$$B[r]F[r]$

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

wobei und für und gleich 1 für . ≤ ( k ) = 0 k < $\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$$\Theta(k) = 0$$k<0$$k\geq 0$

Nehmen wir an, ich stelle die folgenden Gleichgewichtsfunktionen auf

$\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$ und , dann wird Gleichung 1$r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$

(Gleichung 2) .$\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$

Frage 1: Was mache ich mit den Begriffen ? Die Polynome sind Funktionen von Wie kann ich also eine Erweiterung wie X-Funktion von [y] haben? Es scheint auch, dass ich sie einfach auf jeder Seite der Gleichung aufteilen kann. Was war also der Einführungspunkt für diesen Begriff? Ich meine, laut dem Papier soll dieser Ausdruck die Randbedingung auferlegen, dass gegen Null gehen, wenn gegen Null geht.[y]B[r]=($(\frac{r}{R})^l$$[y]$V,W$B[r]= (\frac{r}{R})^l$$V,W$$r$

* Frage 2: * Wie soll ich mit dem in der Klausel umgehenDer Artikel enthält eine Beschreibung des Umgangs mit abgeleiteten Begriffen, aber was ist mit dem selbstSollte ich es wie ein Gleichgewichtswert behandeln und die Regel für Begriffe wie verwenden oder soll ich das ausdrücken in Bezug auf . Oder sollte ich etwas anderes machen?r ∗ W ' r B [ r ] F [ r ] r $r$$r*W'$$r$$B[r]F[r]$$r$$y$

$r/R = (y+1)/2$

$r=0$