Finite-Differenzen-Koordinatentransformation für sphärische Polarkoordinaten

Ich habe einen Teil eines Problems, das durch die Impulserhaltungsgleichung beschrieben wird:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\rho u \sin \theta) =0$

Wobei und (konstante Geschwindigkeit).$u=f(\theta)$$\rho = f(\theta,t)$

Naiv könnte man eine der hier aufgeführten Lösungen anwenden . Das vorliegende Problem lässt sich am besten mit sphärischen Polarkoordinaten (dünne Kugelschale) und diesen Lösungen auf Kartesisch beschreiben. Muss ich vor der Diskretisierung dieser Gleichung eine Art Koordinatentransformation durchführen oder kann ich sie direkt diskretisieren?

Zweitens gibt es einen Grund, warum man zuerst die Ableitung in$\theta$ und dann versuchen sollte, zu diskretisieren?

Als Anmerkung: Ich habe mehrere der oben genannten Schritte ausgeführt und Lösungen erhalten, die nicht konsistent zu sein scheinen (physisch scheint ein Paar sinnvoll zu sein). Ich bin daran interessiert, ob eine ordnungsgemäße Koordinatentransformation durchgeführt werden sollte oder ob eine der zuvor genannten Methoden ausreicht.

BEARBEITEN:

Ich definiere Fluss als:

$\Phi_{i+1/2} = \dfrac{u_{i+1/2}+|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i} \sin{\theta_{i}} + \dfrac{u_{i+1/2}-|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i+1} \sin{\theta_{i+1}}$

$\Phi_{i-1/2} = \dfrac{u_{i-1/2}+|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i-1} \sin{\theta_{i-1}} + \dfrac{u_{i-1/2}-|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i} \sin{\theta_{i}}$

Ich vermute, der 'richtige' Weg, den Fluss zu definieren, besteht darin, an den 'Zellgrenzen' und nicht im auszuwerten . Dies würde eher der Definition des Flusses entsprechen.$\sin{\theta}$$\pm\frac{1}{2}$

Eine letzte Frage - was soll ich an den Grenzen tun ( ist besonders ein Problem und ich vermeide diesen Punkt einfach ganz).$\theta = 0$

Es gibt keinen Grund, die Koordinaten zu transformieren, bevor Sie die Gleichung diskretisieren. Da Sie jedoch sphärische Koordinaten verwenden, erhalten Sie eher ein nichtlineares System als das lineare System, das in kartesischen Koordinaten erscheinen würde. Wenn Sie mit einem linearen System arbeiten möchten, müssen Sie variable Transformationen durchführen (ähnlich wie bei der Erstellung von , die in der ersten Antwort Ihrer verknüpften Frage angezeigt wird).$\Phi$

In Bezug auf die Erweiterung der Ableitung in würde ich empfehlen, dies nicht zu tun, es sei denn, Sie müssen für die obigen Transformationen. Die Gleichung in ihrem aktuellen Zustand liegt in der konservativen Form vor, wobei alle mit gekoppelt sind . Wenn Sie die Ableitung erweitern, verlieren Sie diese Kopplung. Die beiden Lösungen konvergieren mit immer feineren Maschen zueinander, es besteht jedoch ein Unterschied ungleich Null zwischen ihnen. Jemand anderes mit mehr Erfahrung kann möglicherweise auf die Vor- und Nachteile der beiden Formen eingehen, da Finite-Differenzen-Methoden, obwohl sie als konservative Form der Gleichung bezeichnet werden, von Natur aus auf einer bestimmten Ebene nicht konservativ sind .$\theta$$u$$\rho$