Finden, in welchen Dreiecken sich Punkte befinden

Angenommen , ich habe eine 2D - Gitter , bestehend aus nicht - überlappende Dreiecken , und eine Menge von Punkten { P i } M i = 1 ⊂ ∪ N k = 1 T K . Wie lässt sich am besten bestimmen, in welchem ​​Dreieck jeder der Punkte liegt?$\{T_k\}_{k=1}^N$$\{p_i\}_{i=1}^M \subset \cup_{k=1}^N T_K$

In der folgenden Abbildung haben wir zum Beispiel , p 2 ≤ T 4 , p 3 ≤ T 2 , daher hätte ich gerne eine Funktion f , die die Liste f ( p 1 , p 2 , p 3 ) = zurückgibt [ 2 , 4 , 2 ] .$p_1 \in T_2$$p_2 \in T_4$$p_3 \in T_2$$f$$f(p_1,p_2,p_3)=[2,4,2]$

Matlab hat die Funktion pointlocation, die das tut, was ich für Delaunay-Netze will, aber es schlägt für allgemeine Netze fehl.

Mein erster (dummer) Gedanke ist, für alle Knoten alle Dreiecke zu durchlaufen, um herauszufinden, in welchem ​​Dreieck p i sich befindet. Dies ist jedoch äußerst ineffizient - Sie müssen möglicherweise jedes Dreieck für jeden Punkt durchlaufen, also es könnte O ( N ⋅ M ) Arbeit erfordern .$p_i$$p_i$$O(N \cdot M)$

$p_i$$O(a\cdot M\cdot log(N))$$a$

• Es erfordert die Implementierung einer effizienten Suche nach dem nächsten Nachbarn (oder die Suche nach einer Bibliothek, in der diese vorhanden ist), was eine nicht triviale Aufgabe sein kann.
• Dazu muss eine Liste mit den an jeden Knoten angehängten Dreiecken gespeichert werden, für die mein Code derzeit nicht eingerichtet ist. Derzeit gibt es nur eine Liste mit Knotenkoordinaten und eine Liste mit Elementen.

Insgesamt scheint es unelegant, und ich denke, es sollte einen besseren Weg geben. Dies muss ein Problem sein, das häufig auftritt. Daher habe ich mich gefragt, ob jemand den besten Weg empfehlen kann, um herauszufinden, in welchen Dreiecken sich die Knoten befinden, entweder theoretisch oder in Bezug auf die verfügbaren Bibliotheken.

Vielen Dank!

Die übliche Randomized-Edge-Hopping-Methode sollte funktionieren. Beginnen Sie grundsätzlich mit einem beliebigen Dreieck des Netzes und bestimmen Sie dann, auf welcher der Kanten der Zielpunkt auf der gegenüberliegenden Seite von liegt. Das heißt, bestimmen Sie, welche der Kanten, wenn sie zu einer Linie verlängert werden, den Punkt vom Inneren des Dreiecks trennen. Wenn es zwei Möglichkeiten gibt, wählen Sie eine zufällig aus und betrachten Sie das Dreieck, das an diese gemeinsame Kante angrenzt, und wiederholen Sie diese. Die Randomisierung sollte diese Methode mit Wahrscheinlichkeit 1 für Delaunay-Triangulationen konvergieren lassen, und ich kann mir keinen Grund vorstellen, warum sie für beliebige Triangulationen nicht funktionieren würde.

$O(\log N)$$O(M \log N)$$M$

Edit2 : Wir haben dieses PDF gefunden , das ein solches "Walking" -Schema beschreibt, das garantiert endet, und überprüfen die naiveren Ansätze.

Eine andere Alternative zur Verwendung von Quadtrees ist die Verwendung einer Triangulationshierarchie. Siehe Olivier Devillers. Verbesserte inkrementelle randomisierte Delaunay-Triangulation. In Proc. 14. Jahrestag ACM Sympos. Comput. Geom., Seiten 106-115, 1998. Es funktioniert am besten für Delaunay-Triangulationen, kann aber auch für Nicht-Delaunay-Triangulationen verwendet werden.

Grundsätzlich erfordert das, was Sie tun, um die Ortung von Punkten zu beschleunigen, den Aufbau einer Hilfsdatenstruktur. Bei Quadtrees oder einer anderen räumlichen Unterteilung müssen Sie den Unterteilungsbaum erstellen. Beim Edge-Hopping müssen Sie das Dreieck neben der topologischen Struktur aufbauen. Die Triangulationshierarchie erfordert auch die Erstellung eines Baums gröberer Triangulationen.

Ich bin nicht überzeugt, dass Ihre Lösung tatsächlich richtig ist. Betrachten Sie die Situation, in der Sie diese Knoten haben:

• A: (-3, 1)
• B: (0, 2)
• C: (3, 1)
• D: (0, -5)

Es gibt Dreiecke ABC und ACD. Jetzt ist B der nächstgelegene Punkt zum Ursprung, aber der Ursprung liegt im Dreieck ACD, das kein B enthält.

$O(N \cdot M)$

Ich würde die Möglichkeit in Betracht ziehen, einen Quadtree zu bauen , der die Dreiecke selbst enthält. Das heißt, Sie haben einen quaternären Baum, der in jedem Knoten (der einem Begrenzungsrahmen entspricht) gespeichert ist:

• Die Koordinaten, an denen die Box geteilt wird, oder alternativ die Begrenzungsrahmen der vier Teilbäume.
• Zeiger auf die Teilbäume;
• Die Menge der Dreiecke, die vollständig in den Begrenzungsrahmen dieses Rechtecks ​​fallen, jedoch nicht vollständig in einen der vier Teilbäume. Mit anderen Worten, die Dreiecke, die sich mit einem der beiden unterteilten Liniensegmente des Quadtrees schneiden.

$\sqrt{n}$$n$$\log n$$O(N\cdot M)$

CGAL verarbeitet Triangulationen und Punktpositionen (und vieles mehr). Insbesondere das 2D-Triangulationsmodul kann tun, was Sie wollen.