Nachteile gängiger Diskretisierungsschemata für CFD-Simulationen

Neulich fehlte mein Instruktor für rechnergestützte Strömungsmechanik und er sandte seinen Doktoranden als Ersatz für ihn ein. In seiner Vorlesung schien er auf einige Nachteile hinzuweisen, die mit verschiedenen Diskretisierungsschemata für Strömungssimulationen verbunden waren:

Finite-Differenz-Methode: Es ist schwierig, die Konservierung zu befriedigen und sich für unregelmäßige Geometrien zu bewerben

Finite-Volumen-Methode: Sie tendiert dazu, auf Kanten und eindimensionale Physik ausgerichtet zu sein.

Finite-Elemente-Methode: Mit FEM ist es schwierig, hyperbolische Gleichungen zu lösen.

Diskontinuierliches Galerkin: Es ist die beste (und die schlechteste) aller Welten.

Fluktuation Splitting: Sie sind noch nicht weit verbreitet.

Nach dem Vortrag habe ich versucht, ihn zu fragen, woher er diese Informationen hat, aber er hat keine Quelle angegeben. Ich habe auch versucht, ihn zu klären, was er damit meint, dass DG die "beste und schlechteste aller Welten" ist, aber ich habe keine klare Antwort bekommen. Ich kann nur vermuten, dass er aus eigener Erfahrung zu diesen Schlussfolgerungen gekommen ist.

Aus eigener Erfahrung kann ich nur die erste Behauptung bestätigen, dass es schwierig ist, FDM auf unregelmäßige Geometrien anzuwenden. Für alle anderen Ansprüche habe ich nicht genügend Erfahrung, um sie zu überprüfen. Ich bin gespannt, wie genau diese behaupteten "Nachteile" für CFD-Simulationen im Allgemeinen sind.

Die vorgeschlagenen Merkmale sind in dem Sinne angemessen, dass sie in etwa die Meinung der Bevölkerung widerspiegeln. Diese Frage hat einen enormen Umfang, deshalb möchte ich jetzt nur einige Bemerkungen machen. Ich kann auf Kommentare eingehen. Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie unter Was sind Kriterien für die Auswahl zwischen finiten Differenzen und finiten Elementen?

• Konservative Finite-Differenzen-Methoden niedriger Ordnung sind für unstrukturierte Gitter leicht verfügbar. Nichtoszillierende FD-Verfahren hoher Ordnung sind eine andere Sache. In WENO-Schemata mit endlicher Differenz erscheint die Physik in einer Flussaufteilung, die nicht für alle Riemann-Löser verfügbar ist.

• Finite-Volumen-Methoden funktionieren problemlos in mehreren Dimensionen. Um jedoch bei allgemeinen Strömungsstrukturen eine höhere Ordnung als die zweite zu erreichen, sind zusätzliche Flächenquadraturpunkte und / oder Riemann-Querlösungen erforderlich, was die Kosten im Vergleich zu FD-Methoden erheblich erhöht. Diese FV-Methoden können jedoch auf nicht glatte und unstrukturierte Netze angewendet werden und können beliebige Riemann-Löser verwenden.

• Kontinuierliche Finite-Elemente-Methoden können für die CFD verwendet werden, die Stabilisierung wird jedoch schwierig. Es ist normalerweise nicht praktikabel, streng schwingungsfreie Methoden anzuwenden, und für die Stabilisierung sind häufig zusätzliche Informationen wie Entropie erforderlich. Wenn die konsistente Massenmatrix verwendet wird, wird das explizite Zeitspringen viel teurer. Kontinuierliche Galerkin-Methoden sind lokal nicht konservativ, was zu Problemen bei starken Erschütterungen führt. Siehe auch Warum ist lokaler Schutz bei der Lösung von PDEs wichtig?

• Diskontinuierliche Galerkin-Methoden können jeden Riemann-Löser zum Verbinden von Elementen verwenden. Sie haben bessere inhärente nichtlineare Stabilitätseigenschaften als die anderen üblichen Methoden. DG ist auch ziemlich kompliziert zu implementieren und im Allgemeinen nicht monoton in einem Element. Es gibt Begrenzer für DG, die eine positive Einstellung oder ein Maximalprinzip gewährleisten.

• Es gibt andere Methoden wie Spectral Difference (z. B. Wang et al. 2007 oder Liang et al. 2009 ), die das Potenzial haben, sehr effizient zu sein (z. B. Finite Difference) und gleichzeitig geometrisch flexibler und genauer zu sein.

Strömungen mit hoher Reynoldszahl weisen dünne Grenzschichten auf, für deren effiziente Lösung stark anisotrope Elemente erforderlich sind. Für inkompressible oder nahezu inkompressible Elemente verursacht dies bei vielen Diskretisierungen erhebliche Schwierigkeiten. Weitere Erläuterungen, hauptsächlich aus der Sicht der Finite-Elemente-Methoden, finden Sie unter Welche räumlichen Diskretisierungen funktionieren für inkompressible Strömungen mit anisotropen Grenznetzen?

Für stetige Probleme ist die Fähigkeit zur effizienten Verwendung von nichtlinearem Multigrid (FAS) attraktiv. FD-, FV- und DG-Methoden können FAS im Allgemeinen effizient einsetzen, da grob gesagt

$$\frac{(\text{cost per pointwise residual}) \cdot (\text{number of points})}{\text{cost of global residual}} \lesssim 2 .$$

Dieses Verhältnis beträgt bei kontinuierlichen Finite-Elemente-Methoden oft mehr als 10. Dieses Verhältnis ist jedoch für ein effizientes FAS mit punktweisen oder elementweisen Glättungen nicht ausreichend. Es ist auch notwendig, eine elliptische Diskretisierung zu haben, um zur Fehlerkorrektur verwendet zu werden oder den Mehrgitterzyklus auf andere Weise zu modifizieren. Weitere Informationen finden Sie unter Gibt es einen Multigrid-Algorithmus, der Neumann-Probleme löst und eine von der Anzahl der Ebenen unabhängige Konvergenzrate aufweist? Eine positive Antwort auf diese Forschungsfrage würde möglicherweise ein effizientes FAS für kontinuierliche finite Elemente bieten.$h$

Kurz für DG:

Eine Folge der Lockerung der Kontinuitätsanforderungen über Elementgrenzen hinweg ist, dass die Anzahl der Variablen in DG-FEM größer ist als bei einem kontinuierlichen Gegenstück für die gleiche Anzahl von Elementen.

Andererseits haben wir aufgrund der lokalen Formulierung (in Bezug auf Elemente) folgende Vorteile:

• Nichtstationäre und Quellenbegriffe sind zwischen Elementen vollständig entkoppelt. Massenmatrizen können auf Elementebene invertiert werden.
• Einfachere Parallelisierung.
• Adaptive Verfeinerungen (h-, p- und hp) werden einfach gemacht - es ist keine globale Knotennummerierung erforderlich.