Nützlichkeit von Elementen mit maschenabhängiger Stabilität

Nachdem ich einige mathematische Untersuchungen zur Stabilität von Elementen im 3D-Stokes-Problem durchgeführt hatte, stellte ich leicht schockiert fest, dass für ein beliebiges Tetraedernetz nicht stabil ist. Genauer gesagt, wenn Sie ein Element haben, bei dem alle Knoten und drei von vier Facetten an der Grenze der Domäne mit einer Dirichlet-Bedingung liegen, erhalten Sie eine singuläre Matrix. Dies ist in der Tat ziemlich trivial, um aus der schwachen Form des Stokes-Systems zu schließen. $P_2-P_1$

Ich habe den einzigen kommerziellen Stokes-Code getestet, auf den ich Zugriff habe (COMSOL), und es hat mir ermöglicht, ein solches Netz zu erstellen. Beim Klicken auf "Lösen" erhalte ich wie erwartet "Fehler: Singuläre Matrix". (Ich habe den Eindruck, dass COMSOL für sein Kriechstrommodul verwendet.) $P_2-P_1$

Um weiter zu testen, dass das Problem nicht mit anderen Konfigurationen zusammenhängt, habe ich das folgende Mesh ausprobiert und alles funktioniert wie erwartet.

Fragen: Wird diese Art von Einschränkung in (adaptiven oder nicht adaptiven) Netzgeneratoren berücksichtigt? Ich sehe aus verschiedenen Forschungsarbeiten, dass dieses Element sehr beliebt zu sein scheint. Werden diese Art von Grenzinstabilitäten bei der Auswahl einer Methode im Allgemeinen als unbedeutend angesehen? Noch wichtiger ist, was bedeutet es wirklich, ein stabiles finites Element zu haben , dh welche Art von netzabhängigen Instabilitäten sind zu stark, um zu dem Schluss zu kommen, dass die Methode schlecht ist?

stability navier-stokes unstructured-mesh

— knl
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Interessante Frage! Soweit ich weiß, resultieren diese Elemente normalerweise aus der Erzeugung von strukturierten tetraedrischen Netzen auf Cubes und dergleichen und spielen in realen Anwendungen mit unstrukturierten Knotenalgorithmen nur eine untergeordnete Rolle. Ich habe es vor einiger Zeit versucht und war nicht in der Lage, ein solches Netz mit einem Netzgenerator zu erzeugen, der vollständig unstrukturierte Netze erzeugt. Ich vermute, sie setzen einen Mechanismus ein, um solche überzogenen Elemente zu vermeiden. Ich habe zwar keinen Zugriff auf COMSOL, aber ich vermute, dass diese Elemente für die meisten Löser kein signifikantes Problem darstellen.

— Christian Waluga

Ich frage mich, ob dies auch ein Problem mit dem MINI Element ist.

— Daniel Shapero

Ich denke, MINI hat dieses Problem nicht. Der einzelne innere DOF wird die Situation retten. Die Eindeutigkeitsbedingung für Stokes ist . Sei . Wählen Sie wobei die Blase in einem Tetra ist. Dies ergibt, dass eine lokale Konstante ist und die Kontinuität den Rest erledigt.

(\nabla \cdot v, p) = 0 \forall v \in V_{h} \Rightarrow p = global const.

$(\nabla\cdot v, p)=0~\forall v \in V_h \Rightarrow p =\text{global const.}$

p (x, y) = a + b x + c y

$p(x,y)=a+bx+cy$

v = (b ϕ, c ϕ)

$v=(b\phi,c\phi)$

ϕ

$\phi$

p

$p$

— Knl

$p$ $p$

Netzgeneratoren im Allgemeinen eine Option, dies zu handhaben , zum Beispiel die 2D - Netzgenerator bamgvon freefem++hat eine -splitpbedgeOption , die einen Knoten in der Mitte jeder Kante hinzufügt , dessen beide Enden an der Grenze. Laut bamgDokumentation, unstrukturierte Netzgenerierung können solche Dreiecke zurück.

— Joce
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Sind Sie sicher, dass dies zB bei Taylor-Hood in 2D Stokes der Fall ist? Meine Intuition sagt mir, dass der auf die Kante bezogene DOF die Situation dort rettet. In 3D Taylor-Hood gibt es keinen DOF, der mit der Facette zusammenhängt, und daher tritt die Instabilität auf.

— Knl

Sie haben recht, es kann der Fall sein. Ich denke, der Verfuhrt-Beweis der Inf-sup-Bedingung für Taylor-Hood ist konstruktiv genug, um dies zu überprüfen, aber es ist gerade keine Zeit.

— Joce