Was sind die Unterschiede zwischen 'a priori' und 'posteriori' Fehlerabschätzung in der numerischen Analyse?

Ich habe etwas über die Finite-Elemente-Methode gelernt (auch ein wenig über andere numerische Methoden), aber ich weiß nicht, wie genau diese beiden Fehler und deren Unterschiede definiert sind.

finite-element numerical-analysis error-estimation

— Anh-Thi DINH
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A-priori-Schätzungen (vom Lateinischen "vom Vorherigen") hängen nur von der exakten, aber nicht von der berechneten Näherungslösung ab und können daher (theoretisch, wenn nicht in der Praxis) vor der Berechnung der Lösung bewertet werden. Umgekehrt hängen a posteriori-Schätzungen (vom lateinischen "vom späteren") von der berechneten Lösung ab, aber nicht von der genauen Lösung. Sie erfordern also die Berechnung der Lösung, können aber tatsächlich in der Praxis ausgewertet werden.

— Christian Clason

@ ChristianClason - machen Sie dies eine Antwort!

— Wolfgang Bangerth

‖ u - u_{h} ‖ \leq C (h),

$\|u - u_h\| \leq C(h),$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$

C (h)

$C(h)$

h

$h$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$

α

$\alpha$

h

$h$ ) oder iterative Methoden zur Lösung von Gleichungen oder Optimierungsproblemen (mit dem Iterationsindex - bzw. - anstelle von ). Der Sinn einer solchen Schätzung besteht darin, die Frage zu beantworten: "Wenn ich innerhalb von beispielsweise der exakten Lösung bleiben möchte, wie klein muss ich wählen ?"

k

$k$

1 / k

$1/k$

h

$h$ $10^{-3}$ $h$

Der Unterschied zwischen a priori und a posterior Schätzungen ist in der Form der rechten Seite : $C(h)$

In a priori Schätzungen hängt die rechte Seite von (normalerweise explizit) und , aber nicht von . Eine typische a priori Schätzung für die Finite-Elemente-Approximation der Poisson-Gleichung hätte beispielsweise die Form mit einem konstanten abhängig von der Geometrie der Domäne und des Netzes. Im Prinzip kann die rechte Seite ausgewertet werden, bevor (daher der Name) berechnet wird , sodass Sie auswählen können, bevor Sie etwas lösen. In der Praxis ist weder noch bekannt ( $h$ $u$ $u_h$ $-\Delta u = f$
$‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c h^{2} | u |_{H^{2}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$ $c$ $u_h$ $h$ $c$ $|u|_{H^2}$ $u$ ist das, wonach Sie in erster Linie suchen), aber manchmal können Sie Größenordnungsschätzungen für indem Sie die Beweise und für sorgfältig durchgehen unter Verwendung der Daten (die bekannt sind). Die Hauptverwendung ist eine qualitative Schätzung. Sie besagt, dass Sie halbieren müssen, wenn Sie den Fehler um den Faktor vier verringern möchten . $c$ $|u|$ $f$ $h$
In a posteriori Schätzungen hängt die rechte Seite von und , aber nicht von . Ein einfacher Restbasierten ein posteriore Schätzwert für die Poisson-Gleichung sei könnten , die in Theorie wird nach Berechnung von ausgewertet . In der Praxis ist die Berechnung der -Norm problematisch, sodass Sie die rechte Seite weiter manipulieren müssen, um eine elementweise Bindung $h$ $u_h$ $u$
$‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c h ‖ f + Δ u_{h} ‖_{H^{- 1}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$ $u_h$ $H^{-1}$ $‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c (\sum_{K} h_{K}^{2} ‖ f + Δ u_{h} ‖_{L^{2} (K)} + \sum_{F} h_{K}^{3 / 2} ‖ j (\nabla u_{h}) ‖_{L^{2} (F)}),$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$ in dem die erste Summe über die Elemente der Triangulation, die Größe ist , die zweite Summe über alle Elementgrenzen und den Sprung des normalen Derivat des bezeichnet über . Dies ist nun vollständig berechenbar, nachdem , mit Ausnahme der Konstanten . Die Verwendung ist also wiederum hauptsächlich qualitativ: Sie gibt an, welche Elemente einen größeren Fehlerbeitrag liefern als andere. Anstatt einheitlich zu reduzieren , wählen Sie einfach einige Elemente mit großem Fehlerbeitrag aus und verkleinern diese, indem Sie sie unterteilen. Dies ist die Basis von $K$ $h_K$ $K$ $F$ $j(\nabla u_h)$ $u_h$ $F$ $u_h$ $c$ $h$ adaptive Finite-Elemente-Methoden .

— Christian Clason
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— Anh-Thi DINH