Wahl der Basis in FEM

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Kurz gesagt, welche verschiedenen Arten von Basen werden in der FEM verwendet und warum ist die Knotenbasis im Finite-Elemente-Kontext so beliebt und vorteilhaft?

finite-element numerical-analysis basis-set

— kfkhalili
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Menschen benutzen in der Praxis alle möglichen Basen. Beispielsweise verwenden Menschen orthonormale Basen in DG-Methoden, um sicherzustellen, dass die Massenmatrix in Zeitschrittschemata diagonal ist. Menschen verwenden auch hierarchische Grundlagen, wenn sie Adaptivität betreiben, da dies die Konstruktion von Einschränkungen an Gesichtern, bei denen verschiedene Polynomgrade zusammenkommen, trivial macht. Bei Methoden höherer Ordnung verwenden Benutzer auch andere Konstruktionen, um die Bedingungsnummer der Matrix zu minimieren. $p$

Mit anderen Worten, es gibt eine Vielzahl von Basen, die tatsächlich verwendet werden. Wir fangen gerade an, die FEM mit Knotenbasen zu unterrichten, weil es so einfach zu verstehen ist und weil sie für die meisten Fälle ausreichen.

— Wolfgang Bangerth
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Die Knoten-Lagrange-Basen sind schön, weil sie die Funktionen an den Knoten interpolieren: Dies bedeutet, dass Sie Lösungen lesen und zeichnen können, indem Sie nur die Koeffizienten in der Darstellung betrachten: Das ist viel schöner, als die Summe an jedem Punkt auswerten zu müssen, an dem es Ihnen wichtig ist, .

ϕ_{ich} (x_{j}) = δ_{ich j}

$\phi_i(x_j) = \delta_{ij}$

u_{j}

$u_j$

u_{h} (x) = \sum_{j} u_{j} ϕ_{j} (x)

$u_h(x) = \sum_j u_j\phi_j(x)$

u_{h}

$u_h$

— Bill Barth
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$\mathbf{K} \mathbf{u} = \mathbf{f}$

δ u^{T.} K. u = δ u^{T.} f

$\delta \mathbf{u}^T \mathbf{K} \mathbf{u} = \delta \mathbf{u}^T \mathbf{f}$

K u

$\mathbf{K} \mathbf{u}$

f

$\mathbf{f}$

u

$\mathbf{u}$

f

$\mathbf{f}$

Frühe FEM-Entwicklungen wurden hauptsächlich von technischen Anwendungen angetrieben, und die Intuition der an Knoten ausgeübten Punktkräfte war für die Methodendiffusion sehr wichtig.

— Stefano M.
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Es gibt eine Vielzahl unterschiedlicher Basen in FEM, aber die meisten beinhalten Basisfunktionen, die topologischen Entitäten wie Scheitelpunkten, Kanten, Flächen und Elementinnenräumen zugeordnet sind. Dies ermöglicht es, verschiedene Arten von Kontinuität zu erzwingen, indem sichergestellt wird, dass die Freiheitsgrade für solche Funktionen an gemeinsam genutzten Scheitelpunkten / Kanten / Flächen übereinstimmen.

Diese Basisfunktionen können auch hierarchisch definiert werden (1D-Funktionen definieren, diese in 2D-Funktionen mischen, 2D-Funktionen in 3D mischen usw.). Auf diese Weise definierte Basen können verwendet werden, um Sparsity freizulegen oder andere mathematische Eigenschaften zu garantieren, obwohl ihre Konstruktion komplizierter ist.

Knotenbasen sind eine einfachere Möglichkeit, solche Funktionen zu definieren, solange eine geeignete Anzahl von Knoten an den Eckpunkten, Kanten, Flächen und im Inneren eines Elements platziert ist. Die Kontinuität kann erzwungen werden, indem sichergestellt wird, dass zwei Knotenwerte an gemeinsam genutzten Scheitelpunkten / Kanten / Flächen identisch sind. Wenn sich solche Knoten an Quadraturpunkten befinden, kann dies zusätzlich für eine effiziente Zeitschritt- und Massenmatrixanordnung auf viereckigen und hexaedrischen Elementen ausgenutzt werden (dies ist die Wurzel der Spektralelementmethode ).

— Jesse Chan
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$L_2$

— Oskar Limka
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