Unterschied zwischen l2-Norm und L2-Norm

Was ist der Unterschied zwischen der $l^2$ -Norm und der $L^2$ -Norm ? Ich kann keine endgültige Referenz finden. Wikipedia verwendet sie austauschbar.

Beide Normen sind insofern ähnlich, als sie durch das Skalarprodukt des jeweiligen Hilbert-Raums induziert werden, unterscheiden sich jedoch, weil die verschiedenen Räume mit unterschiedlichen inneren Produkten ausgestattet sind:

• $\mathbb{R}^N$$v = (v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$

  $$\|v\|_{2}^2 = (v,v)_{2} = \sum_{i=1}^N v_i^2.$$

• Für (der Raum realer Sequenzen, für den die folgende Norm endlich ist) ist die Norm von definiert durch $\ell^2$$v = \{v_i\}_{i\in\mathbb{N}} \in \ell^2$

  $$\|v\|_{\ell^2}^2 = (v,v)_{\ell^2} = \sum_{i=1}^\infty v_i^2.$$

• Für (der Raum der messbaren Funktionen von Lebesgue in einer begrenzten Domäne für die die folgende Norm endlich ist) ist die Norm von ist definiert durch $L^2(\Omega)$$\Omega\subset\mathbb{R}^d$$u\in L^2(\Omega)$

  $$\|u\|_{L^2}^2 = (u,u)_{L^2} = \int_\Omega u(x)^2\,dx.$$

All dies ist Standard, kann in jedem einführenden Lehrbuch zur Funktionsanalyse gefunden werden und ist Ihnen wahrscheinlich bereits bekannt. Da die Frage als Fehlerschätzung gekennzeichnet ist , sind Sie wahrscheinlich an dem praktischen Unterschied bei der Verwendung des einen oder anderen interessiert, beispielsweise für die Finite-Elemente-Diskretisierung. Angenommen, Sie haben einen endlichdimensionalen Unterraum der die Spanne einer endlichen Anzahl von Basisfunktionen . Dann kann jedes geschrieben werden als Seit können Sie natürlich an messen$V_h\subset L^2(\Omega)$$\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$$u_h\in V_h$

$$u_h = \sum_{i=1}^N u_i \varphi_i. \tag{1}$$ $V_h\subset L^2(\Omega)$$u_h$$L^2$Norm. Alternativ können Sie mit dem Vektor (manchmal auch als Koordinatenisomorphismus bezeichnet ) identifizieren und nach der euklidischen Norm von messen .$u_h$$\vec u:=(u_1,\dots,u_N)^T\in\mathbb{R}^N$$u_h$$\vec u$

Wie vergleichen sich die beiden Messmethoden von ? Das Einfügen der Definition ergibt wobei die Masse ist Matrix mit Einträgen . Zum Vergleich haben wir $u_h$$(1)$

$$\|u_h\|_{L^2}^2 = (u_h,u_h)_{L^2} = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N u_iu_j \int_\Omega \varphi_i(x)\varphi_j(x)\,dx = \vec u^T M_h \vec u,$$ $M_h\in \mathbb{R}^{N\times N}$$M_{ij} = \int_\Omega \varphi_i(x)\varphi_j(x)\,dx$ $$\|u_h\|_{\ell^2}^2 := \|\vec u\|_2^2 = \vec u^T \vec u.$$

Beide Normen sind daher äquivalent, dh es existieren Konstanten so dass Im Prinzip können Sie also beide Normen austauschbar verwenden. Wenn der Fehler in einer Norm auf Null geht, geht er in der anderen Norm ebenfalls auf Null und mit derselben Rate. Beachten Sie jedoch, dass die Konstanten und zwar unabhängig von , jedoch von und insbesondere von abhängen . Dies ist wichtig, wenn Sie Diskretisierungsfehler für verschiedene Räume mit (sagen wir) vergleichen möchten$c_1,c_2>0$

$$c_1\|u_h\|_{\ell^2}\leq \|u_h\|_{L^2} \leq c_2 \|u\|_{\ell^2}\qquad\text{for all }u_h\in V_h.$$ $c_1$$c_2$$u_h$$V_h$$N$$V_h$$N_1<N_2$In diesem Fall sollten Sie eine Norm verwenden, die selbst nicht von oder abhängt , dh die Norm. (Sie können dies sehen, indem Sie als konstante Funktion und für verschiedene mit - die ersteren skalieren als , während letzteres für jedes den gleichen Wert hat , da die Massenmatrix die Skalierung kompensiert.)$N_1$$N_2$$L^2$$u_h$$u_h=1$$\|u_h\|_{\ell^2}$$N$$\|u_h\|_{L^2}$$\sqrt{N}$$N$

Es gibt auch eine dritte - Zwischen - Alternative, bei der die Massenmatrix durch eine Diagonalmatrix (z. B. indem als diagonale Elemente von die Summe der entsprechenden Zeile von ) und die Norm als ; Dies wird üblicherweise als Massenklumpen bezeichnet . Diese Norm entspricht auch sowohl der als auch der Norm - und in diesem Fall hängen die Konstanten und beim Vergleich von und der Massenklumpen-Norm nicht von .$D_h$$D_h$$M_h$$\|u_h\|_{D}^2:=\vec u^T D_h\vec u = \sum_{i=1}^N (D_h)_{ii} u_i^2$$\ell^2$$L^2$$c_1$$c_2$$L^2$$N$

Die 2-Norm für Sequenzen wird mit . Für Funktionen auf der reellen Linie ist die Standardnotation der 2-Norm.$\ell^2$$L^2$