Algebraisches Multigrid: Warum führt das Produkt aus Interpolation und Restriktion nicht zu etwas mit Norm 1?

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Derzeit arbeite ich mit "A Multigrid Tutorial" von Briggs et al., Kapitel 8.

Der Aufbau des Interpolationsoperators ist gegeben als:

Der Aufbau des Beschränkungsbetreibers und des Feinnetzbetreibers ist dann gegeben als:

Nehmen wir an, wir haben drei Gitterpunkte x0, x1, x2, wobei der mittlere x1 in Ordnung und die anderen grob sind. Die mittlere wird durch interpoliert x1 = x0*w0 + x2*w2. Daher lautet der Interpolationsoperator (in Matlab):

I = [1, 0, 0; w0, 0, w2; 0, 0, 1]

I =

[  1, 0,  0]
[ w0, 0, w2]
[  0, 0,  1]

Der Restriktionsoperator ist dann:

transpose(I)

ans =

[ 1, w0, 0]
[ 0,  0, 0]
[ 0, w2, 1]

Nun wollen wir sehen, was passieren würde, wenn man einschränken und dann direkt interpolieren würde, was zu einer Multiplikation von Iund führt transpose(I):

I*transpose(I)

ans =

[  1,          w0,  0]
[ w0, w0^2 + w2^2, w2]
[  0,          w2,  1]

Ich würde erwarten, dass diese Matrix so etwas wie eine Identitätsmatrix ist oder zumindest die Norm 1 hat oder so. Wenn wir jedoch x = [1, 1, 1] für beispielsweise w0 = w2 = 0,5 anwenden würden, würden wir [1,5 1,5 1,5] erhalten. Ich würde annehmen, dass wiederholt angewendete Restriktionsinterpolationsoperationen zumindest zu etwas konvergieren würden. Nein, in diesem Fall werden alle Vektorkomponenten bei jeder Restriktionsinterpolation mit 1,5 multipliziert. Das kommt mir sehr merkwürdig vor.

Kann jemand erklären, was los ist?

linear-algebra multigrid

— Michael
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1

I

$I$

3 \times 3

$3\times 3$

2 \times 3

$2\times 3$

8

$x$

— Jesse Chan
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Ich verstehe das. Aber ich würde zumindest annehmen, dass das wiederholte Anwenden von Einschränkung und Interpolation gegen etwas konvergiert. Aber nein - im obigen Fall werden alle Vektorelemente für jede Restriktionsinterpolation mit 1,5 multipliziert. Das kommt mir komisch vor.

— Michael

Klar - einige kurze Antworten. (1) Glättung und Normalisierung werden nicht berücksichtigt, die normalerweise zusammen mit Interpolation / Restriktion angewendet werden. (2) Ein Teil davon könnte die Wahl der Gewichte sein. Diese entsprechen oft unterschiedlichen Auswahlmöglichkeiten von Interpolations- / Restriktionsoperatoren, von denen einige nachweislich zu einem besseren Verhalten führen als andere. (3) Es gibt andere Interp / Restrict-Operatoren, für die Interp + Restrict eine Projektion ist. Sie können beispielsweise globale Projektionen von groben zu feinen Gittern erstellen, dies ist jedoch kostspielig und für einen Löser nicht wert.

— Jesse Chan

4

$I^TI$

$E$ $EI$ $EI$ $(EI)(EI)=EI$

— Wolfgang Bangerth
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