Newton-Iteration für nichtlineare PDE

Ich habe Schwierigkeiten zu verstehen, wie man die Newton-Iteration auf nichtlineare PDEs anwendet und dann ein vollständig implizites Schema für den Zeitschritt verwendet. Zum Beispiel möchte ich die Burgers-Gleichung lösen

u_{t} + u u_{x} - u_{x x} = 0

$u_{t} + u u_{x} - u_{xx} = 0$

Also Diskretisierung der Zeit mit einem Backward Euler

u_{t} = \frac{u^{n + 1} - u^{n}}{h}

$u_{t} = \frac{u^{n+1} - u^{n}}{h}$

wir glauben, dass

\begin{aligned} \frac{u^{n + 1} - - u^{n}}{h} + u^{n + 1} (u^{n + 1})_{x} - - (u^{n + 1})_{x x} = 0 \\ u^{n + 1} - - h (u^{n + 1})_{x x} + h u^{n + 1} (u^{n + 1})_{x} = u^{n} \\ (ich - - h {D.}^{2}) u^{n + 1} + h u^{n + 1} D. u^{n + 1} = u^{n} \\ (ich - - h {D.}^{2}) u^{n + 1} + N. (u^{n + 1}) = u^{n} (1) \end{aligned}

$\begin{align} &\frac{u^{n+1} - u^{n}}{h} + u^{n+1} (u^{n+1})_{x} - (u^{n+1})_{xx} = 0 \\ &u^{n+1} - h (u^{n+1})_{xx} + h u^{n+1} (u^{n+1})_{x} = u^{n} \\ &(I - h D^{2}) u^{n+1} + h u^{n+1} D u^{n+1} = u^{n} \\ &(I - h D^{2}) u^{n+1} + N(u^{n+1}) = u^{n} \ \ \ (1) \end{align}$

Dabei steht für unseren nichtlinearen Term (beachten Sie, dass der nichtlineare Term implizit geschrieben ist). Jetzt wollen wir die Newton-Iteration auf diese nichtlineare ODE anwenden, aber hier stecke ich fest: $N$

Wenden wir einfach die Newton-Iteration auf die LHS von und ignorieren dabei den Term , dh lösen $(1)$ $u^{n}$ ? Oder sollen wir denBegriff ? (Nur zur Erinnerung, ich möchte nach Verwendung der Newton-Iteration einen Zeitschritt mit einem vollständig impliziten Schema ausführen, daher glaube ich, dass wir nur die LHS = 0 lösen möchten.) $(I - h D^{2}) u^{n+1} + N(u^{n+1}) = 0$ $u^{n}$
Was sollen wir dann mit den Informationen aus der ersten Vermutung und dem Ergebnis unserer Newton-Iteration tun? Wie verwenden wir diese Informationen in unserem Zeitschritt?

Da ich sicher bin, dass es schmerzlich offensichtlich ist, bin ich ziemlich verwirrt, wie ich dieses Problem angehen soll. Wenn jemand eine detaillierte Beschreibung der Anwendung der Newton-Iteration und des Zeitschritts auf nichtlineare PDEs (jedoch keine elliptischen PDEs) geben oder mir bei dem vorliegenden Problem helfen könnte, wäre ich sehr dankbar. Danke im Voraus.

— Mattos
quelle

Es ist etwas einfacher zu sehen, ob Sie Ihre Gleichung in einem halbdiskretisierten System der Form und unter Anwendung der Methode und unter Annäherung an schreiben. $u^{\prime}(t) = F(u(t))$ $\theta$ ergibt dies, $u^{\prime}(t) \approx (w^{n+1} - w^{n})/\tau$

w^{n + 1} - - w^{n} - - (1 - - θ) τ F. (w^{n}) - - θ τ F. (w^{n + 1}) = 0

$w^{n+1} - w^{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) = 0$

mit unbekanntem Vektor und Zeitschritt . Hier ist die nicht diskretisierte zeitliche partielle Ableitung und repräsentiert Ihre diskretisierten räumlichen Ableitungen, die zum Zeitpunkt zu ausgewertet werden . Mit dem $w^{n+1}$ $\tau$ $u^{\prime}(t)$ $F(u(t))$ $u(t)$ $t$ $\theta$ Methode bietet Ihnen ein wenig Flexibilität, da Sie die Methode zwischen vollständig implizit und vollständig explizit (und irgendwo dazwischen) ändern können.

Diese Gleichung kann mit der Newton-Iteration gelöst werden.

ν^{k + 1} = ν^{k} - - (ich - - θ τ {EIN}^{n})^{- - 1} (ν^{k} - - w^{n} - - (1 - - θ) τ F. (w^{n}) - - θ τ F. (w^{n + 1}))

$\nu^{k+1} = \nu^{k} - (I - \theta\tau A^{n})^{-1} \left( \nu^{k} - w^{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) \right)$

Dabei ist der Iterationsindex ( ) und die Jacobi-Matrix von $k$ $k\geq0$ $A^{n}$ . Wir verwenden das Symbol für Iterationsvariablenso dass sie ausLösung der Gleichung bei einer Echtzeit Punkt auszeichnen . Wie Sie sagten, benötigt die Iteration einen Anfangswert, es ist vollkommen gültig, zu wählen,oder für eine bessere Schätzung können wir eine Iteration vorberechnen $F(w^n)$ $\nu^{k}$ $u^n$ $\nu^0 = w^0$ . Genau genommen ist dies die sogenanntemodifizierteNewton-Iteration, da der Jacobian während der Iteration nicht aktualisiert wird, was bekanntermaßen für steife PDEs gut funktioniert. $\nu^0 = w^0 + \tau F(w^{0})$

— Boyfarrell
quelle

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich hätte genauer sein sollen, ich bin tatsächlich schon am Punkt der Verwendung von Newton Iteration und habe das Problem als solches gelöst und habe Diagramme der Lösung. Aber mein Hauptproblem ist, wie man danach einen Zeitschritt macht? Ich dachte, wir wollten den nichtlinearen Term "vernichten" und danach eine lineare ODE zeitlich verschieben? Oder habe ich den Punkt der Newton-Iteration völlig verfehlt? Könnten Sie bitte auch eine schrittweise Methode angeben, wie Sie zu Ihrer Newton-Iterationsgleichung gekommen sind? Ich entschuldige mich dafür, dass ich so viele Fragen gestellt habe, dass ich im Moment nur ein bisschen Schwierigkeiten habe.

— Mattos

Ich denke, Sie haben den Punkt verpasst. Sie diskretisieren Ihre nichtlinearen Gleichungen und iterieren dann (beginnend mit einem Schätzwert), um die Gleichungen zu lösen und zum Zeitpunkt

zu ergeben

w^{1}

$w^1$

t^{1}

$t^1$

ν

$\nu$

t^{2}

$t^2$

θ = 0

$\theta=0$

Weitere Informationen finden Sie auf S.127 books.google.co.uk/books?isbn=3540034404 . Ich habe damit numerische Algorithmen implementiert und es funktioniert.

— Boyfarrell