Was ist der Zweck der Testfunktion in der Finite-Elemente-Analyse?

In der Wellengleichung:

c^{2} \nabla \cdot \nabla u (x, t) - \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = f (x, t)

$c^2 \nabla \cdot \nabla u(x,t) - \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)$

Warum multiplizieren wir zuerst mit einer Testfunktion bevor wir integrieren? $v(x,t)$

finite-element

— Andy
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Kurze Antwort: Weil die Finite-Elemente-Methode eine Diskretisierung der schwachen Formulierung ist, nicht der starken Formulierung (die Sie angegeben haben). Mittlere Antwort: Weil Sie nicht sicher sind, ob Sie eine endlich dimensionale Funktion finden, bei der die Gleichung erfüllt ist. Bestenfalls können Sie hoffen, dass das Residuum orthogonal zum endlichdimensionalen Lösungsraum ist - oder äquivalent orthogonal zu jedem Element dieses Raums (was genau eine Testfunktion ist). Die Teilintegration ist nicht so wichtig, und in Ihrem Fall aus Gründen der Symmetrie. Lange Antwort ist zu lang für einen Kommentar :)

— Christian Clason

Noch eine kurze Erklärung: Wenn Sie nur integrieren und auf Null setzen, fragen Sie nach dem Mittelwert , der verschwinden soll - und nicht nach dem, wonach Sie suchen, denn dann könnte der Rest in einem Teil der Domäne sehr groß sein, solange es ist groß mit entgegengesetztem Vorzeichen in einem anderen. Die Testfunktionen "lokalisieren" im Wesentlichen den Rest für jedes Element.

— Christian Clason

Eine alternative Erklärung finden Sie in dieser Antwort: scicomp.stackexchange.com/questions/16331/…

— Paul

Antworten:

Du kommst rückwärts. Die Rechtfertigung ist besser zu erkennen, wenn man von der Variation ausgeht und auf die starke Form hinarbeitet. Sobald Sie dies getan haben, kann das Konzept des Multiplizierens mit einer Testfunktion und des Integrierens auf Probleme angewendet werden, bei denen Sie nicht mit einem Minimierungsproblem beginnen.

Betrachten Sie also das Problem, bei dem wir minimieren möchten (und hier formal und überhaupt nicht rigoros arbeiten):

I (u) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (\nabla u (x))^{2} d x

$I(u) = \frac {1}{2} \int_\Omega (\nabla u(x))^2 \; dx$

unter gewissen Randbedingungen an . Wenn wir wollen, dass dieses ein Minimum erreicht, müssen wir es in Bezug auf differenzieren , was eine Funktion ist. Es gibt verschiedene Methoden, um diese Art von Derivat in Betracht zu ziehen, aber eine Methode, die eingeführt wird, ist das Berechnen $\partial\Omega$ $I$ $u$

I^{'} (u (x), v (x)) = lim_{h \to 0} \frac{d}{d h} I (u (x) + h v (x))

$I'(u(x),v(x))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{d}{dh}I(u(x)+hv(x))$

wobei nur ein Skalar ist. Sie können sehen, dass dies der traditionellen Definition einer Ableitung für Skalarfunktionen einer Skalarvariablen ähnelt, jedoch auf Funktionen wie , die Skalare zurückgeben, aber ihre Domäne über Funktionen haben. $h$ $I$

Wenn wir dies für unser berechnen (meistens unter Verwendung der Kettenregel), erhalten wir $I$

I^{'} (u, v) = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x

$I'(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx$

Wenn Sie dies auf Null setzen, um das Minimum zu finden, erhalten Sie eine Gleichung, die der schwachen Aussage für Laplace's Gleichung ähnelt:

\int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = 0

$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx = 0$

Wenn wir nun den Divergenz-Theorm (auch als mehrdimensionale Teilintegration bezeichnet) verwenden, können wir eine Ableitung von abnehmen und sie auf , um zu erhalten $v$ $u$

- \int_{Ω} \nabla \cdot (\nabla u) v d x + boundary terms = 0

$-\int_\Omega \nabla \cdot (\nabla u) v \; dx + \text {boundary terms} = 0$

Nun sieht es wirklich so aus, als ob Sie eine schwache Aussage aus einer partiellen Differentialgleichung erstellen möchten. In Anbetracht dieser Idee können Sie es für jede PDE verwenden, indem Sie einfach mit einer Testfunktion multiplizieren, integrieren, den Divergenzsatz anwenden und dann diskretisieren.

— Bill Barth
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Ich würde es vorziehen, es durch Minimierung des gewichteten Residuums zu erklären.

— Nicoguaro

@nicoguaro, OK, dann können Sie diese Antwort schreiben, und wir werden sehen, welches für OP sinnvoller ist. :)

— Bill Barth

+1 für den Hinweis auf , dass die schwache Form tatsächlich ist (oder zumindest oft) mehr natürliche als die starke Form.

— Christian Clason

Interessant. Eine Art Tangens, aber in Bezug auf "Es gibt mittlerweile mehrere bewährte Methoden, um diese Art von Derivat in Betracht zu ziehen" : Die einzige Methode, die ich gelernt habe, ist die von Ihnen erwähnte. Welche anderen Arten gibt es?

— user541686

@Mehrdad Diese Methode berechnet eine Richtungsableitung und überprüft, ob es sich um einen linearen Operator (in

) und damit um eine Gâteaux-Ableitung handelt. Sie können auch aus der anderen Richtung kommen: Erraten Sie einen linearen Operator (z. B. analog zu reellen Funktionen) und stellen Sie sicher, dass er eine Art Taylor-Approximationseigenschaft erster Ordnung erfüllt. Dann ist es ein Fréchet-Derivat (und damit auch ein Gâteaux-Derivat).

h

$h$

— Christian Clason

Wie ich bereits erwähnte, ziehe ich es vor, mir die schwache Form als gewichteten Rest vorzustellen.

Wir wollen eine ungefähre Lösung finden . Definieren wir den Rest als $\hat{u}$

R = c^{2} \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial t^{2}} - f (x, t)

$R = c^2 \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} - f(x,t)$

für den Fall der genauen Lösung ist der Rest die Nullfunktion über der Domäne. Wir wollen eine ungefähre Lösung finden, die "gut" ist, dh eine, die "klein" macht. Wir können also versuchen, die Norm des Residuums (zum Beispiel Methode des kleinsten Quadrats) oder einen Durchschnitt davon zu minimieren. Eine Möglichkeit besteht darin, das gewichtete Residuum zu berechnen, dh das gewichtete Residuum zu minimieren $R$

\int_{Ω} w R d Ω

$\int\limits_\Omega wR d\Omega$

Eine wichtige Sache dabei ist, dass es eine Funktion definiert, so dass Sie sie minimieren können. Dies kann für Funktionen funktionieren, die keine Variationsform haben. Ich beschreibe ein bisschen mehr in diesem Beitrag . Sie können wählen , die Funktion in unterschiedlicher Weise, wie aus dem gleichen Raum der Funktion ist Methoden), Dirac - Delta - Funktionen (Kollokationsverfahren) oder eine grundlegenden Lösung (Boundary Element Method). $w$ $\hat{u}$

Wenn Sie den ersten Fall auswählen, erhalten Sie eine Gleichung wie die von @BillBarth beschriebene.

— nicoguaro
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