Raviart-Thomas-Elemente auf dem Referenzquadrat

Ich möchte erfahren, wie das Raviart-Thomas (RT) -Element funktioniert. Zu diesem Zweck möchte ich analytisch beschreiben, wie die Basisfunktionen auf dem Referenzquadrat aussehen. Das Ziel hier ist nicht, es selbst zu implementieren, sondern nur ein intuitives Verständnis des Elements zu erlangen.

Ich stütze diese Arbeit größtenteils auf die hier diskutierten dreieckigen Elemente . Vielleicht ist es ein Fehler an sich, sie auf Vierecke auszudehnen.

Trotzdem kann ich die Basisfunktionen für das erste RK-Element RK0 definieren:

für

ϕ_{i} (x) = a + b x = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x \\ a_{2} + b_{2} y \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$

i = 1, \dots, 4.

$i = 1,\dots,4.$

Die Bedingungen für sind: $\mathbf{\phi}_i$

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

Dabei ist die unten gezeigte Einheitennormale und die Koordinate. $\mathbf{n}_j$ $\mathbf{x}_j$

RT0

Dies ist das Referenzquadrat , was zu einem Gleichungssystem für jede Basisfunktion führt. Für dies: $[-1,1]\times[1,1]$ $\mathbf{\phi}_1$

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ b_{1} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$

was gelöst werden kann, um zu geben:

ϕ_{1} (x) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + x \\ 0 \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$

Die anderen Basisfunktionen können ähnlich gefunden werden.

Unter der Annahme, dass dies korrekt ist, besteht der nächste Schritt darin, die Basisfunktionen für RK1 zu finden. Hier werde ich mir ein wenig unsicher. Laut dem obigen Link ist der Raum, an dem wir interessiert sind:

P_{1} (K) + x P_{1} (K)

$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$

Eine Basis für wäre $P_1$ $\{ 1, x, y\}$

Ich denke, dies bedeutet, dass die RK1-Basisfunktionen die Form annehmen sollten:

ϕ_{i} (x) = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x + c_{1} y + d_{1} x^{2} + e_{1} x y \\ a_{2} + b_{2} x + c_{2} y + d_{2} x y + e_{2} y^{2} \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$

Dies lässt 10 Unbekannte für jede Basisfunktion übrig. Wenn wir die gleichen Bedingungen wie im Fall RK0 anwenden, nämlich:

, wobei die ist, wie unten gezeigt:

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

n_{j}

$\mathbf{n}_j$

RK1

Dies gibt uns 8 Gleichungen. Die anderen 2, denke ich, können von einigen Momenten gefunden werden. Ich bin mir nicht sicher, wie genau. Der obige Link spricht über die Integration gegen eine Basis für , aber ich habe Probleme herauszufinden, was das bedeutet. Bin ich auf dem richtigen Weg oder habe ich hier etwas komplett verpasst? $[P_1]^2$

pde finite-element

— Lukas Bystricky
quelle

Im Allgemeinen können Sie nicht einfach dieselbe Polynombasis von tetraedrischen auf viereckige Elemente übertragen. ¹ Insbesondere geht es bei viereckigen Elementen darum, mit Tensorprodukten eindimensionaler Polynome zu arbeiten, was für tetraedrische Elemente nicht möglich ist.

$RT_k$

P_{k + 1, k} \times P_{k, k + 1},

$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$

P_{k, l} = {\sum_{i = 0}^{k} \sum_{j = 0}^{l} a_{i j} x^{i} y^{j} : a_{i j} \in R} .

$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$

k = 0

$k=0$

k = 1

$k=1$

(\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x + c_{1} x^{2} + d_{1} y + e_{1} x y + f_{2} x^{2} y \\ a_{2} + b_{2} y + c_{2} y^{2} + d_{2} x + e_{2} x y + f_{2} x y^{2} \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$

\dim R T_{1} = 12

$\dim RT_1 = 12$

\dim R T_{k} = 2 (k + 1) (k + 2)

$\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$

R T_{k}

$RT_k$

k + 1

$k+1$

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} ϕ_{i} (x, y) q_{j} (x, y) d x d x = δ_{i j},

$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$

{q_{j}}

$\{q_j\}$

P_{k - 1, k} \times P_{k, k - 1}

$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$

{1, x, y}

$\{1,x,y\}$

k = 1

$k=1$

\int_{e_{m}} ϕ_{i} (s)^{T} ν_{e_{m}} q_{m, j} (s) d s,

$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$

e_{m}

$e_m$

ν_{e_{m}}

$\nu_{e_m}$

m

$m$

q_{m, j}

$q_{m,j}$

P_{k} (e_{m})

$P_k(e_m)$

{1, x}

$\{1,x\}$

{1, y}

$\{1,y\}$

k = 1

$k=1$

$H(div)$

_{$k$ $k$ $k$ $k$ $x^2y$ $3$ $2$}

— Christian Clason
quelle

Vielen Dank für Ihre Antwort, Sie haben sich offensichtlich viel Mühe gegeben. Ich denke, das klärt viele meiner Missverständnisse auf.

— Lukas Bystricky

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

k = 0

$k=0$

\frac{1}{4} ⟨ 1 + x, 0 ⟩^{T}

$\frac{1}{4}\langle 1+x, 0\rangle^T$

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

y

$y$

Ich bin froh, dass du es hilfreich fandest. Ihre Frage ist interessant und Sie haben sich auch viel Mühe gegeben. Die kompakte Unterstützung ergibt sich aus der Tatsache, dass die Polynome nur auf dem Referenzelement definiert sind - erinnern Sie sich, dass Raviart-Thomas H (div) -konforme Elemente sind und daher Funktionen im globalen Finite-Elemente-Raum nicht kontinuierlich sein müssen.

— Christian Clason

Tatsächlich gilt dies nur für die Basisfunktionen, die mit den inneren Freiheitsgraden verbunden sind: Die (globalen) Basisfunktionen, die mit den Kantenfreiheitsgraden verbunden sind, unterstützen (nur) die beiden Elemente, die durch die Kante verbunden sind; Bei jedem anderen Element werden sie auf Null gesetzt.

— Christian Clason

Eigentlich eigentlich: Bei Kantenelementen muss nur die normale Spur stetig sein, nicht das Polynom selbst, also sollte auch das automatisch erledigt werden, ohne die Unterstützung zu erweitern. Wenn Sie weitere Informationen zum globalen Raviart-Thomas-Bereich benötigen , empfehlen wir Ihnen, Ihre Frage zu erweitern, und ich werde versuchen, meine Antwort zu erweitern.

— Christian Clason