Was ist die allgemeine Idee von Nitsches Methode in der numerischen Analyse?

Ich weiß, dass die Nitsche-Methode eine sehr attraktive Methode ist, da sie es ermöglicht, ohne Verwendung von Lagrange-Multiplikatoren Randbedingungen vom Dirichlet-Typ oder den Kontakt mit Reibungsrandbedingungen auf schwache Weise zu berücksichtigen. Und sein Vorteil, eine Dirichlet-Randbedingung ähnlich wie eine Neumann-Randbedingung in schwache Ausdrücke umzuwandeln, wird durch die Tatsache bezahlt, dass die Implementierung modellabhängig ist.

Es scheint mir jedoch zu allgemein zu sein. Können Sie mir eine genauere Vorstellung von dieser Methode geben? Ein einfaches Beispiel wäre wünschenswert.

Nitsches Methode ist mit diskontinuierlichen Galerkin-Methoden verwandt (Wolfgang weist darauf hin, dass sie Vorläufer dieser Methoden ist) und kann auf ähnliche Weise abgeleitet werden. Betrachten wir das einfachste Problem, die Poissonsche Gleichung:

$$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$$ Wir suchen jetzt eine Variationsformulierung, die

1. ist zufrieden mit der (schwachen) Lösung (dh konsistent),$u\in H^1(\Omega)$
2. ist symmetrisch in und v ,$u$$v$
3. gibt eine einzigartige Lösung zu (was bedeutet, dass die bilineare Form zwangsweise ist).

Wir beginnen wie üblich mit der starken Form der Differentialgleichung, multiplizieren mit einer Testfunktion und integrieren nach Teilen. Ausgehend von der rechten Seite erhalten wir ( f , v ) = ( $v\in H^1(\Omega)$ in die in der letzten Gleichung haben wir das produktive Null hinzugefügt0=u-gan der Grenze. Die Umordnung der Terme in lineare und bilineare Formen ergibt nun eine Variationsgleichung für eine symmetrische bilineare Form, die für die Lösungu∈H1(Ω)von(1)erfüllt ist.

$$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$$ $0=u-g$$u\in H^1(\Omega)$$(1)$

Die bilineare Form ist jedoch nicht zwingend, da Sie sie nicht von unten für durch c ‖ v ‖ 2 H 1 binden können (da wir keine Randbedingungen für willkürliches v ∈ H 1 ( Ω ) haben , können wir nicht verwenden Poincarés Ungleichung wie üblich - das heißt, wir können den L 2 -Teil der Norm beliebig groß machen, ohne die bilineare Form zu ändern). Wir müssen also einen weiteren (symmetrischen) Term hinzufügen, der für die wahre Lösung verschwindet: η ∫ ∂ Ω ( $u=v$$c\|v\|_{H^1}^2$$v\in H^1(\Omega)$$L^2$ für einige η > 0 groß genug. Dies führt zu der (symmetrischem, konsistentem, Zwang) schwachen Formulierung: Finden u ∈ H 1 ( Ω ) derartdass ( ∇ u , ∇ v ) - ∫ ∂ Ω ∂ & ngr; u $\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$$\eta>0$$u\in H^1(\Omega)$

$$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$$

$u,v\in H^1(\Omega)$$u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$$\eta$$ch^{-1}$$c>0$

(Dies ist nicht Nitsches ursprüngliche Herleitung, die vor den diskontinuierlichen Galerkin-Methoden liegt und von einem äquivalenten Minimierungsproblem ausgeht. Tatsächlich erwähnt seine ursprüngliche Abhandlung die entsprechende bilineare Form überhaupt nicht, aber Sie finden sie beispielsweise in Freund und Stenberg.) Zu schwach auferlegten Randbedingungen für Probleme zweiter Ordnung , Proceedings of the Ninth Int. Conf. Finite Elements in Fluids, Venedig 1995. M. Morandi Cecchi et al., Hrsg., S. 327-336 .)