Wie fühlt sich eine schwache Konvergenz numerisch an?

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Stellen Sie sich vor, Sie haben ein Problem in einem unendlich dimensionalen Hilbert- oder Banach-Raum (denken Sie an eine PDE oder ein Optimierungsproblem in einem solchen Raum) und Sie haben einen Algorithmus, der schwach zu einer Lösung konvergiert. Wenn Sie das Problem diskretisieren und den entsprechenden diskretisierten Algorithmus auf das Problem anwenden, ist schwache Konvergenz Konvergenz in jeder Koordinate und daher auch stark. Meine Frage ist:

Fühlt sich diese Art von starker Konvergenz anders an oder sieht sie anders aus als die Konvergenz, die sich aus der guten alten einfachen starken Konvergenz des ursprünglichen unendlichen Algorithmus ergibt?

Oder konkreter:

Was für ein schlechtes Verhalten kann mit einer "diskretisierten Methode der schwachen Konvergenz" passieren?

Ich selbst bin normalerweise nicht ganz glücklich, wenn ich nur eine schwache Konvergenz nachweisen kann, aber bis jetzt konnte ich kein Problem mit dem Ergebnis der Methoden beobachten, selbst wenn ich das Problem diskretisierter Probleme auf höhere Dimensionen skaliere.

Beachten Sie, dass ich nicht an dem Problem "Erstes Diskretisieren als Optimieren" oder "Erstes Optimieren als Diskretisieren" interessiert bin und mir Probleme bewusst sind, die auftreten können, wenn Sie einen Algorithmus auf ein diskretisiertes Problem anwenden, das nicht alle Eigenschaften mit dem Problem teilt für die der Algorithmus entwickelt wurde.

Update: Betrachten Sie als konkretes Beispiel ein Optimierungsproblem mit einer Variablen in und lösen Sie es mit einer (Trägheits-) Vorwärts-Rückwärts-Aufteilung oder einer anderen Methode, für die nur eine schwache Konvergenz in bekannt ist. Für das diskretisierte Problem können Sie dieselbe Methode verwenden und mit der richtigen Diskretisierung erhalten Sie denselben Algorithmus, wenn Sie den Algorithmus direkt diskretisiert haben. Was kann schief gehen, wenn Sie die Diskretisierungsgenauigkeit erhöhen? $L^2$ $L^2$

algorithms convergence

— Dolch
quelle

An welche Methode denken Sie, bei der die Konvergenz analysiert wird, bevor das unendlich dimensionale Problem diskretisiert wird? Sie erwähnen die Optimierung. Denken Sie also hauptsächlich an PDE-beschränkte Optimierungsprobleme, oder gibt es noch etwas anderes?

— Bill Barth

Neben der PDE-Optimierung habe ich geometrische Variationsprobleme (z. B. minimale Oberflächen) und Bildgebungsprobleme (z. B. TV-Entrauschung, Mumford-Shah-Segmentierung) im Auge.

— Dirk

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Es ist wahr, dass eine schwache Konvergenz in der Kontinuumsgrenze als am wichtigsten ist (z. B. indem keine Konvergenzrate beobachtet werden kann). Zumindest in Hilbert-Räumen ist es auch eng mit der Nicht-Eindeutigkeit des Grenzwerts und damit nur der nachfolgenden Konvergenz verbunden (z. B. wenn Sie zwischen der Annäherung an verschiedene Grenzpunkte wechseln und die Raten erneut zerstören können), und es ist schwierig, den Einfluss von zu trennen die beiden über die Konvergenz. $h\to 0$

Speziell für eine schwache Konvergenz in haben Sie auch die Tatsache, dass die Konvergenz nicht punktweise sein muss, und dies können Sie tatsächlich in einer (ausreichend feinen) Diskretisierung beobachten. Hier ist ein Beispiel aus einer Folge von Minimierern , die als zu konvergiert $L^2$ $\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ $\varepsilon\to 0$ wo die Konvergenz schwach ist, aber nicht punktuell auf

u (x) = {\begin{cases} - - 1 & x < \frac{1}{3} \\ 0 & x \in [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]] \\ 1 & x > \frac{2}{3} \end{cases}

$u(x) = \begin{cases} -1 & x<\frac13 \\ 0 &x\in [\frac13,\frac23] \\ 1 &x>\frac23\end{cases}$

(aber fast überall punktuell). Die folgenden Figuren zeigen drei repräsentative Elemente aus der Sequenz (für

schon recht klein).

[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]

$[\frac13,\frac23]$

ε

$\varepsilon$

schwache Konvergenz 1 schwache Konvergenz 2 schwache Konvergenz 3

Dieses Phänomen ist als "Chittering" bei der Approximation von Bang-Bang-Steuerungsproblemen für Differentialgleichungen bekannt (dh Probleme mit Box-Einschränkungen, bei denen die Lösung fast überall entweder die untere oder die obere Grenze erreicht).

— Christian Clason
quelle

Exzellentes Beispiel! Ich habe jedoch nicht verstanden, wie schwach Konvergenz mit Nicht-Eindeutigkeit verbunden ist. Im Allgemeinen kann man schwache Konvergenz nicht auf starke Konvergenz aufrüsten, wenn das Limit eindeutig ist, oder? Aber stimme zu, häufig hat man sowohl nur schwache Konvergenz als auch Nicht-Eindeutigkeit.

— Dirk

Entschuldigung, das war schlecht formuliert; Ich habe nicht gemeint, dass dies immer der Fall ist. Ich hatte Probleme im Kopf, bei denen normalerweise auch eine Konvergenz der Norm auftritt. Solange Sie also eine Konvergenz der gesamten Sequenz haben, können Sie auf eine starke Konvergenz "upgraden" (dh das einzige, was eine starke Konvergenz verhindern kann, ist die nachfolgende Konvergenz ).

— Christian Clason

2

Die Frage, die Sie stellen, ist oft von wenig praktischer Bedeutung, da eine schwache Konvergenz in einer Norm eine starke Konvergenz in einer anderen Norm für dieselbe Lösungssequenz bedeuten kann.

$u$ $H^2$ $u_h$ $H^1$ $u_h \rightarrow u$ $L_2$ $H^1$ $h\rightarrow 0$ $\|u-u_h\|_{L_2} \le Ch^2$ $\|u-u_h\|_{H^1} \le Ch$

$u_h \rightarrow u$ $H^2$ $u_h$ $H^1$ $u_h \rightharpoonup u$ $H^2$

⟨ \nabla^{2} (u - - u_{h}), \nabla^{2} v ⟩ \leq Ö (1) \forall v \in {H.}^{2} .

$\left< \nabla^2 (u-u_h), \nabla^2 v\right> \le {\cal o}(1) \qquad \forall v \in H^2.$

Der Punkt ist, dass die Frage der schwachen gegenüber der starken Konvergenz in der Regel eine Frage der Norm ist, die Sie betrachten, und keine Eigenschaft der Abfolge von Lösungen, die Sie mit Ihrer Methode erhalten.

— Wolfgang Bangerth
quelle

L^{2}

$L^2$

@ChristianClason, können Sie darüber sprechen, wie dies ist, wenn eine solche Methode diskretisiert wird? Arbeiten Sie? Etc?

— Bill Barth

L^{2}

$L^2$