Wie werden Punkte im hyperbolischen Raum abgetastet?

Der hyperbolische Raum im Poincaré- Raummodell der oberen Hälfte sieht aus wie gewöhnliches , wobei jedoch der Begriff von Winkel und Abstand auf relativ einfache Weise verzerrt ist. Im euklidischen Raum kann ich einen zufälligen Punkt in einer Kugel auf verschiedene Arten gleichmäßig abtasten , z. B. indem ich unabhängige Gaußsche Stichproben generiere , um eine Richtung zu erhalten, und separat eine Radialkoordinate abtasten , indem ich von gleichmäßig , wobei der Radius ist, und Setzen von $\Bbb R^n$ $n$ $r$ $s$ $\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$ $R$ $r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$ . In der hyperbolischen oberen Halbebene ist eine Kugel immer noch eine Kugel, nur ihr Zentrum ist nicht das Zentrum in der euklidischen Metrik, also könnten wir dasselbe tun.

Wenn wir nach einer ungleichmäßigen Verteilung, aber immer noch auf isotrope Weise, z. B. einer Gaußschen Verteilung, abtasten möchten, scheint dies nicht so einfach zu sein. Im euklidischen Raum könnten wir einfach eine Gaußsche Stichprobe für jede Koordinate erzeugen (dies funktioniert nur für die Gaußsche Verteilung) oder äquivalent eine mehrdimensionale Gaußsche Stichprobe erzeugen. Gibt es eine direkte Möglichkeit, diese Probe in eine Probe im hyperbolischen Raum umzuwandeln?

Ein alternativer Ansatz könnte darin bestehen, zuerst eine Richtung mit gleichmäßiger Verteilung (z. B. aus Gaußschen Abtastwerten) und dann eine Gaußsche Abtastung für die radiale Komponente zu erzeugen und schließlich das Bild unter der Exponentialkarte in der angegebenen Richtung für die angegebene Länge zu erzeugen . Eine Variation wäre, einfach die euklidische Gaußsche Stichprobe zu nehmen und sie unter der Exponentialkarte abzubilden. $n$

Meine Fragen:

Was wäre ein guter und effizienter Weg, um eine Gaußsche Probe mit gegebenem Mittelwert und Standardabweichung im hyperbolischen Raum zu erhalten?
Stellen die oben beschriebenen Methoden die gewünschte Stichprobe bereit?
Hat jemand die Formel schon ausgearbeitet?
Wie verallgemeinert sich dies auf andere Metriken und andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen?

Danke im Voraus.

BEARBEITEN

Ich habe gerade festgestellt, dass diese Fragen auch bei einer einheitlichen Stichprobe bestehen bleiben. Obwohl eine Kugel eine Kugel ist, würde eine gleichmäßige Verteilung nicht durch eine konstante Funktion auf einer Kugel beschrieben.

— doetoe
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@ Ja, danke für deinen Kommentar. Auf jedem topologischen Raum befindet sich die Borel-Sigma-Algebra, die von der Topologie generiert wird. Eine Riemannsche Metrik gibt Ihnen eine Vorstellung von einem Volumen. Wenn das Gesamtvolumen endlich ist, kann dies normalisiert werden, um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu erhalten, oder allgemeiner gibt es auf direkte Weise gleichmäßige Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf messbaren Mengen endlichen Volumens. Da Sie eine geometrische Struktur haben, einschließlich des Begriffs der Geodäten und Bogenlängen, können Sie Gaußsche Verteilungen auch durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte definieren, die auf die gleiche Weise wie im euklidischen Raum nach Entfernung abfällt

— doetoe

@yes Es kann einfacher sein, im Ballmodell eine Probe um die Mitte des Balls zu erstellen und diese dann durch eine Isometrie zu transportieren, wobei mindestens euklidische und hyperbolische Rotationen um die Mitte zusammenfallen. Wenn dies tatsächlich am effizientesten ist, würde sich die Frage darauf beschränken, wie die Abtastung um das Zentrum im Plattenmodell gemäß der Normalverteilung für die hyperbolische Metrik erfolgen soll.

— Doetoe

Sie sollten in der Lage sein, Mark Girolamis Riemannsche Mannigfaltigkeit MCMC anzupassen, um hier Proben zu generieren. Aber es kann übertrieben sein. Sie machen MCMC, aber Sie generieren Vorschläge, indem Sie Geodäten aus dem aktuellen Punkt herausschießen.

— Nick Alger

@ NickAlger das klingt interessant, hast du einen Link?

— Doetoe

Hier ist sein Hauptpapier darüber. Sie wandeln das Problem der Abtastung einer ungleichmäßigen Verteilung auf ebenem Raum in ein Problem der Abtastung einer gleichmäßigen Verteilung auf einem Verteiler um, während Sie mit einer gleichmäßigen Verteilung auf dem Verteiler beginnen. rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/…

— Nick Alger

Antworten:

Ich bin gerade dabei, das für mich selbst zu tun. Ich denke, das am besten geeignete Analogon zum Gaußschen wäre der Wärmekern im hyperbolischen Raum. Glücklicherweise wurde dies bereits zuvor herausgefunden: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf (auch in einem Bulletin der London Mathematical Society verfügbar ).

Wenn Sie den Standardzerfall verwenden ( ), erwarte ich, dass die Gesamtmasse aufgrund einer exponentiellen Zunahme des Volumens mit dem Radius für den hyperbolischen Raum größer als 1 ist. $e^{-dist^2/constant}$

Um eine bestimmte Kugel (oder einen anderen kompakten Satz) gleichmäßig abzutasten, könnte man eine Ablehnungsabtastung mit der Volumenform durchführen:

{(\frac{2}{1 - | | x | |^{2}})}^{n} d x_{1} \dots d x_{n}

$\left(\frac{2}{1-||x||^2} \right)^n \, dx_1 \, \ldots \, dx_n$

Hier ist ein einheitliches Beispiel für die Kugel mit dem Radius 3, die am Ursprung zentriert ist:

Auf Wunsch würde ich gerne mehr sagen. Ich dachte nur, ich würde das aufstellen, da es zumindest in der Vergangenheit eindeutig ein gewisses Interesse daran gab.

— Edward Chien
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Danken! Ich hatte noch keine Zeit, den beliebten Artikel zu studieren, aber er sieht interessant und relevant aus

— doetoe

Die relevanten Gleichungen sind (1.6) und (1.7) für ungerade bzw. gerade Dimensionen. Der standardmäßige euklidische Gaußsche Wert ist das Ergebnis der Diffusion einer Deltaverteilung zum Mittelwert für die Zeit . Diese Verteilungen sind das Ergebnis derselben im hyperbolischen Raum. Die Wärmegleichung regelt diese Entwicklung und bewahrt die Masse. Dies beantwortet auch Ihre Frage, wie Sie dies auf andere Riemannsche Mannigfaltigkeiten verallgemeinern können. In diesen anderen Fällen ist es leider wahrscheinlich nicht wahrscheinlich, eine explizite Formel zu finden.

σ / 2

$\sigma / 2$

— Edward Chien

Die Konstante pi ist nur eine Konstante im euklidischen Raum. Der Wert von pi unterscheidet sich in anderen Geometrien. Der Parameter pi ändert die Wahrscheinlichkeitsmasse unter dem Gaußschen. Der Parameter pi wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeiten zu normalisieren. Ich fange gerade an, das zu studieren.

Ich bin vor einiger Zeit zu dem Schluss gekommen, dass sich der Raum von hyperbolisch zu euklidisch zu sphärisch ändert, wenn die Anzahl der Sigmen steigt. Ich war froh, über den Parameter p eine Diskussion über Kreise in jedem Raum und pi als Funktion von Lp-Räumen zu führen.

— David W Locke
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Accept-Reject (AR) Sampling ist wahrscheinlich der richtige Weg hierher. Die AR-Abtastung funktioniert in dimensionalen Räumen genauso wie im eindimensionalen Raum (z. B. Abtastung von einem Gaußschen über ein Laplace / Double-Exponential). Sie definieren eine Hüllkurvenfunktion und tasten dann gleichmäßig unter der Hüllkurve. Hier müsste die Hüllkurvenfunktion eine Funktion sein, die den Poincare-Raum abdeckt. Je näher die Hüllkurve am tatsächlichen Raum liegt, desto effizienter ist der Abtastvorgang. Ein wichtiger Punkt hier ist aber , dass Sie von dem Poincaré - Speicherplatz auf Probe , um brauchen , um tatsächlich einen Wahrscheinlichkeitsmaß über den Raum zu definieren. Mir ist nicht klar, was ein Gaußsches Maß auf der Poincare-Scheibe bedeutet. $n$

— Lucas Roberts
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