Bei der Berechnung der Eigenwerte der symmetrischen Matrix M∈ Rn × n das Beste, was Sie mit dem Householder-Reflektor tun können, die Ansteuerung von M in eine tridiagonale Form. Wie in einer früheren Antwort erwähnt , weil M symmetrisch ist eine orthogonale Ähnlichkeitstransformation was eine Diagonalmatrix ist, das heißt, D = STMS . Es wäre praktisch, wenn wir die Wirkung der unbekannten orthogonalen Matrix finden konnte S durch Berechnen einer Folge von Reflektoren und Anwendung von streng Householder Reflektoren HT von links nach M und Hvon rechts nach . Dies ist jedoch nicht möglich, da der Householder-Reflektor so konzipiert ist, dass Spalten auf Null gesetzt werden. Wenn wir den Householder-Reflektor so berechnen, dass alle Zahlen unter M 11 auf Null gesetzt werden, erhalten wir
M = (MM11
Die Einträge M 12 - M 1 n wurden nun jedoch durchden links angebrachtenReflektor H T 1 geändert. Wenn wir also H 1 auf der rechten Seiteanwenden, wird die erste Reihe vonMnicht mehr auf Null gesetzt, sodass nur noch M 11 übrigbleibt. Stattdessen erhalten wir
H T 1 M= (
M= ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟→ HT1M= ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜∗0000∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟.
M12- M1 nHT1H1MM11
Wo nicht nurdass Null aus wir die Zeile nichtaber wir können die Null Struktur zerstören wir nur mit dem Reflektor eingeführt
H T 1 .
HT1M= ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜∗0000∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′∗′⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟→ HT1MH1= ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜∗∗′∗′∗′∗′∗''∗''∗''∗''∗''∗''∗''∗''∗''∗''∗''∗''∗''∗''∗''∗''∗''∗''∗''∗''⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟.
HT1
Wenn Sie sich jedoch dafür entscheiden, zu einer tridiagonalen Struktur zu fahren , bleibt die erste Reihe von der Wirkung von H T 1 unberührt , sodass
M = (MHT1
Wenn wir also den gleichen Reflektor von rechts anwenden, erhalten wir
H T 1 M= (
M= ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟→ HT1M= ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜∗∗′000∗∗′∗′∗′∗′∗∗′∗′∗′∗′∗∗′∗′∗′∗′∗∗′∗′∗′∗′⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟.
HT1M= ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜∗∗′000∗∗′∗′∗′∗′∗∗′∗′∗′∗′∗∗′∗′∗′∗′∗∗′∗′∗′∗′⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟→ HT1MH1= ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜∗∗′000∗′∗''∗''∗''∗''0∗''∗''∗''∗''0∗''∗''∗''∗''0∗''∗''∗''∗''⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟.
MTMSTS