Motivation hinter der Galerkin-Methode

Ich habe eine Frage zur Galerkin-Methode. Ich verstehe nicht, warum die Galerkin-Methode den Rest durch die Formfunktionen gewichtet und gleich Null setzt. Ich möchte wissen, was der Grund dafür ist. Warum müssen wir Gewichtungsrestfunktionen gleich Null setzen?

Als ich in der Graduiertenschule die Finite-Elemente-Methode studierte, war mir auch dieser Gedanke, mit einer Gewichtsfunktion zu multiplizieren, sehr fremd. Schließlich fand ich eine nette (wenn auch nicht strenge) Analogie, die mir half, sie zu verstehen. Diese Analogie basiert auf der 3D-Vektorgeometrie und dem Verständnis von Projektionen und Punktprodukten.

3D-Geometrie

Stellen Sie sich eine 2D-Ebene vor, die irgendwo im euklidischen 3D-Raum liegt. Diese Ebene kann jedoch als die Spanne von zwei Vektoren und v 2 angesehen werden . Somit kann jeder Vektor w in der Ebene als eine lineare Kombination dieser Vektoren geschrieben werden; dh w = c 1 v 1 + c 2 v $v_1$$v_2$$w$$w=c_1v_1+c_2v_2$

Stellen Sie sich nun einen Punkt im 3D-Raum vor, der sich nicht in der Ebene befindet. Betrachten wir die Frage: Von allen Punkten auf der Ebene, die Punkt ist , die am nächsten zu Q ? Es ist der eine Punkt w (im obigen Bild nicht gezeigt), der auf der Linie liegt, die durch den Punkt Q verläuft und senkrecht zur Ebene verläuft. Der Punkt w ist auch als orthogonale Projektion von Q auf die Ebene bekannt. Obwohl wir die Koordinaten dieses Punktes w nicht kennen, wissen wir, dass der Vektor zwischen Q und w senkrecht zu allen Vektoren ist, die die Ebene definieren, dh v $Q$$Q$$w$$Q$$w$$Q$$w$$Q$$w$$v_1$und . Senkrecht bedeutet auch, dass das Punktprodukt Null ist. Wenn wir den Vektor zwischen Q und w als → Q - → w bezeichnen , bedeutet dies auch, dass → Q - → w senkrecht zur Ebene stehen muss$v_2$$Q$$w$$\vec{Q}-\vec{w}$$\vec{Q}-\vec{w}$

$$(\vec{Q}-\vec{w})\cdot v_1=0$$

und

$$(\vec{Q}-\vec{w})\cdot v_2=0$$

Dies führt zu einem Gleichungssystem, das wir lösen können. Beachten Sie auch, dass wir zum Konstruieren von die Koordinate von $\vec{Q}-\vec{w}$$Q$

Analogie zur Galerkin-Methode

Nehmen wir an, dass die Lösung eine endliche lineare Kombination von Funktionen N 1 , .., N k ist ; somit ist u h = C 1 N 1 + . . . + C k N k . Diese lineare Kombination wirkt wie die Ebene in der obigen Diskussion. $u_h$$N_1$$N_k$$u_h=C_1N_1+...+C_kN_k$

Nun, nehmen wir an , dass es etwas gibt exakte Lösung , die wir nicht wissen. Diese Lösung u ist wie der Punkt im 3D-Raum, der nicht in der Ebene liegt.$u$$u$

Bei der Galerkin-Methode suchen wir nach der Lösung in einem Raum (Ebene), der der tatsächlichen Lösung am nächsten liegt (Punkt nicht in der Ebene). In diesem Sinne ist die "beste Lösung" die Wahl von dass die Differenz u - u h senkrecht zum Raum u h ist . Es ist zu beachten, dass für Funktionsräume das "Punktprodukt" durch das Integral ihres Produkts definiert ist, dh < u , v > = ∫ Ω u v . Perpedikulär impliziert also, dass das Punktprodukt zwischen u - u h und all diesen Basisfunktionen N $u_h$$u-u_h$$u_h$$<u,v>=\int_\Omega u v$$u-u_h$$N_1$, ..., muss Null sein, dh$N_k$

. . . ∫ Ω (u- u h ) N k =

$$\int_\Omega (u-u_h)N_1 = 0$$ $$...$$ $$\int_\Omega (u-u_h)N_k = 0$$

Jetzt können Sie selbst sagen, „Das ganze Setup ruhen kritisch auf der Annahme , dass wir die exakte Lösung kennen vor der Zeit. Aber die Wahrheit ist , dass wir in der Regel nicht wissen , u a priori. In diesem Fall, wie kann Wir berechnen möglicherweise u - u h in all diesen Gleichungen?$u$$u$$u-u_h$ "Ich bin so froh, dass Sie gefragt haben!

Die Wahrheit ist, dass wir direkt bewerten können und nicht . Aber wir wissen , was u und u h gerecht zu werden sollen; dh die PDE. $u-u_h$$u$$u_h$

Angenommen, Ihr ursprüngliches PDE-Problem ist

$$-\nabla\cdot\left(k(x)\nabla u\right)=f$$

Wir könnten dies auch umschreiben als

wobei der Operator A durch den Ausdruck A u = - ∇ ⋅ ( k ( x ) ∇ u

$$Au=f$$ $A$$Au=-\nabla\cdot\left(k(x) \nabla u \right)$

Anstatt also die absolute Differenz zwischen den Lösungen zu berücksichtigen, betrachten wir stattdessen die Restdifferenz A u - A u h in allen (senkrechten) Gleichungen. Das heißt, betrachten nicht , was u und u h sind, sondern das, was u und u h satisfy statt. Indem wir die absolute Differenz durch die Restdifferenz in den obigen (senkrechten) Gleichungen ersetzen, können wir schreiben$u-u_h$ $Au - Au_h$$u$$u_h$$u$$u_h$

. . . ∫ Ω (Au-A u h ) N k =

$$\int_\Omega (Au-Au_h)N_1 = 0$$ $$...$$ $$\int_\Omega (Au-Au_h)N_k = 0$$

Auch hier wissen wir immer noch nicht, was bist, daher scheint dies nicht sehr hilfreich zu sein. Tatsächlich können wir A u jedoch durch den bekannten Quellterm f ersetzen (da A u = f ). So erhalten wir die Gleichungen$u$$Au$$f$$Au=f$

. . . ∫ Ω (f-A u h ) N k =

$$\int_\Omega (f-Au_h)N_1 = 0$$ $$...$$ $$\int_\Omega (f-Au_h)N_k = 0$$

Das Erzwingen, dass das Residuum orthogonal zu dem gegebenen Raum ist, führt zu einem Gleichungssystem, das man für die Koeffizienten . $C_1,...,C_k$

Zusammenfassung

Die obige Erklärung ist eine grobe "Analogie". Ich habe nichts wirklich abgeleitet oder einen vernünftigen Beweis dafür erbracht, dass durch A u - A u h ersetzt werden kann und dennoch eine enge Annäherung liefert. Ich habe auch nichts darüber erklärt, wie man eine schwache Form der PDE erhält oder wie man die Räume auswählt, in denen N 1 ist . . . N k liegen in.$u-u_h$$Au-Au_h$$N_1...N_k$

$N_1$$N_k$$u$

$u$ $u$

$-\Delta u = f$$u$$r(u) = -\Delta u - f = 0$$u$$u_h$$u_h$$r(u_h)=0$$u_h$

$u_h=\sum_i U_i \varphi_i$$N$$\varphi_i$$U_i$$N$$\left<\varphi_i,r(u_h)\right>=0$

$\left<\psi_i,r(u_h)\right>=0$$\psi_i$$N$$\varphi_i$

Ich habe etwas mehr Material zu diesem Thema in Vorlesung 4 unter http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html .

Boris Grigoryevich möchte, dass Sie keine Residuen mit denselben Funktionen erstellen können, mit denen Sie die Lösung erstellt haben.

Obwohl diese Frage alt ist und von vielen klugen Leuten beantwortet wurde, möchte ich nur die Intuition aufschreiben, mit der ich den Leuten die Galerkin-Methode erkläre.

Das Ziel in unserer Situation ist es, eine möglichst nahe liegende Lösung für eine kontinuierliche Restgleichung zu finden:

$$r(u) = 0$$

$i^{th}$$\phi_{i}(x)$$u_{h} = \sum_{i}^{n} a_{i} \phi_{i}(x)$$r(u_{h}(x))$

$$\int_{\Omega} r(u_{h}(x)) \phi_i(x) dx = 0 \;\;\; \forall i$$

Dieser integrale Ausdruck kann als inneres Produkt angesehen werden, geschrieben als:

$$\left< r(u_{h}), \phi_i\right> = 0 \;\;\; \forall i$$

Aus der Perspektive dieses inneren Produkts erzwingt die Galerkin-Projektion, dass der Restfehler orthogonal zur Wahl der Basisfunktionen ist. Während mit der Verwendung einer niederdimensionalen Darstellung der Lösung möglicherweise ein wahrer Fehler verbunden ist, zielt die Galerkin-Projektion darauf ab, die mit der gewählten Basis verbundene Fehlerkomponente zu minimieren.

Denken Sie daran, dass beim Multiplizieren der Gleichung für starke Formen mit der Formfunktion die Formfunktion beliebig ist . Indem verlangt wird, dass der Rest orthogonal zu einer solchen Formfunktion ist, ist ein solcher Rest tatsächlich sehr nahe bei Null.

Dies ist nicht dasselbe wie die Anforderung, dass der Rest genau Null sein muss, sondern eine etwas geschwächte Anforderung, die die diskrete Lösung erfüllen kann.