Auswertung von Schwingungsintegralen mit vielen unabhängigen Perioden und ohne geschlossene Formen

Die meisten mir bekannten Methoden für oszillatorische Integrale befassen sich mit Integralen der Form wobei groß ist.

\int f (x) e^{i ω x} d x

$\int f(x)e^{i\omega x}\,dx$

ω

$\omega$

Wenn ich ein Integral der Form wobei Schwingungsfunktionen sind, deren Wurzeln nur ungefähr bekannt sind, aber eine Art asymptotische Form ist bekannt, wobei die Frequenzen alle unterschiedlich sind (und -linear unabhängig). Wie kann ich dann dieses Integral bewerten?

\int f (x) g_{1} (x) \dots g_{n} (x) d x,

$\int f(x)g_1(x)\cdots g_n(x)\,dx,$

g_{k}

$g_k$

g_{k} (x) \sim e^{i ω_{k} x}

$g_k(x) \sim e^{i\omega_k x}$

ω_{k}

$\omega_k$

Q

$\mathbb{Q}$

Anders als im Fall von sind die Polynomintegrale nicht bekannt, daher kann ich keine Menge von Polynominterpolanten für konstruieren und integrieren die Interpolanten genau. $e^{i\omega x}$ $\int x^a \prod g_k(x)$ $f(x)$

In meinem genauen Problem sind Bessel-Funktionen und , und der Integrationsbereich ist . Die Methode, die ich jetzt verwende, besteht darin, integrale Beiträge über Intervalle zwischen Wurzeln bis zu einem Grenzwert und dann die asymptotische Expansion für für großes . Die zeitliche Komplexität dieses Algorithmus ist in exponentiell, da das Produkt , von denen jedes eine Anzahl asymptotischer Terme hat, was ergibt $g_k$ $J_0(\omega_k x)$ $f(x)=x^\alpha$ $[0,\infty)$ $[x_{k-1},x_k]$ $M$ $g_k(x)$ $x$ $n$ $g_1\ldots g_n$ $r$ $r^n$ Gesamtbedingungen; Zu kleine Schnittterme reduzieren die Laufzeit nicht genug, um dies für große möglich zu machen . $n$

Heuristische, nicht strenge Antworten, Vorschläge und Referenzen sind willkommen.

quadrature

— Kirill
quelle

Antworten:

Ich habe an einfacheren Integralen gearbeitet, bei denen es Punkte der stationären Phase gibt. Ich habe zwei Methoden gefunden, die ganz gut funktionieren.

Eine besteht darin, einen exponentiellen Dämpfungsfaktor einzuführen, der von der Phasenfunktion abhängt, eine Art künstliche Viskosität, wenn Sie möchten.

Eine andere Technik (bei der es mehrere Punkte der statistischen Phase gibt) wurde beschrieben in:

Tuck, EO, Collins, JL und Wells, WH, "Über Schiffswellen und ihre Spektren", Journal of Ship Research, S. 11–21, 1971.

Diese Methode wendet exponentielle Abklingfaktoren auf den Integranden an, wo er schnell vom stat wegschwingt. Phasenpunkte, lässt aber den Integranden intakt, wo er nicht ist.

Das bin ich aus Ideen heraus!

— Lysistrata
quelle

Danke, aber ich sehe nicht ganz ein, wie das in diesem Fall funktionieren würde. Zum einen gibt es auf der realen Linie keine stationären Phasenpunkte, und die Beiträge von Schwingungen sind für den Endwert signifikant und dürfen daher nicht gedämpft werden.

— Kirill

Solange Sie genaue Werte für die Wurzeln (oder Extrema) des oszillierenden Teils Ihres Integranden haben, bleibt die Longman-Methode (wie ich in dieser Antwort beschrieben habe ) anwendbar. Alles, was Sie tun müssen, ist, eine Reihe von Integralen mit Intervallen zwischen den Wurzeln mit Ihrer bevorzugten Quadraturmethode auszuwerten und diese Integrale als Begriffe einiger alternierender Reihen zu behandeln. Sie können dann eine beliebige Anzahl von Konvergenzbeschleunigungsmethoden (Euler, Levin, Weniger usw.) verwenden, um diese alternierende Reihe zu "summieren".

Als Beispiel habe ich in dieser Antwort von math.SE ein unendliches Integral ausgewertet, dessen oszillierender Teil ein Produkt zweier Bessel-Funktionen ist.

— JM
quelle

Wäre es nicht wichtig, dass die Wurzeln unregelmäßig verteilt sind (alle Perioden sind irrational und unabhängig)? Warum sollten Sie der Konvergenzbeschleunigung für eine solch unregelmäßige Sequenz vertrauen?

— Kirill

Dies war vor einer Weile, ich wollte das Integral auf tausend Stellen auswerten und wenn ich mich richtig erinnere, war die oszillierende Quadratur tatsächlich das erste, was ich versuchte. Ich erinnere mich nicht an die Ergebnisse, aber ich denke nicht, dass es zu der Zeit gut funktioniert hat.

— Kirill

"Warum sollten Sie der Konvergenzbeschleunigung für solch eine unregelmäßige Sequenz vertrauen?" - Ich würde nicht nur einem Beschleuniger vertrauen , tho. Aber wenn mindestens drei verschiedene Beschleuniger zu konsistenten Ergebnissen führen, würde ich denken, dass die Ziffern, die ich erhalten habe, zumindest plausibel sind. FWIW, ich habe Longman für unendliche Integrale von Produkten von Bessel-Funktionen verwendet, und ich wurde nie enttäuscht, insbesondere wenn ich Wenigers Transformation als Beschleuniger verwendete.

— JM

x^{a} e^{b x}

$x^a e^{b x}$

Wenn Sie eine (verallgemeinerte) Fourier-Erweiterung durchführen können, dann sicher.

— JM