Rätselhafte Bemerkung zum Stabilitätsbereich der Runge-Kutta-Methode fünfter Ordnung

In der Zeitung stieß ich auf eine verwirrende Bemerkung

PJ van der Houwen, Die Entwicklung von Runge-Kutta-Methoden für partielle Differentialgleichungen, Appl. Num. Mathematik. 20: 261,1996

In den Zeilen 8ff auf Seite 264 schreibt van der Houwen:

"Für die Taylor - Polynome impliziert dies , dass das imaginäre Stabilitätsintervall für leer ist " $p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots$

Dabei bezieht sich Taylor-Polynom auf das Stabilitätspolynom (abgeschnittene Expansion von um ) der Runge-Kutta-Methode und p ist die Reihenfolge (siehe Seite 263). Ich gehe davon aus, dass ich etwas falsch verstehe, weil die Runge-Kutta-Methode fünfter Ordnung meines Wissens kein leeres imaginäres Stabilitätsintervall hat. Soweit ich mich erinnere, liegt die imaginäre Grenze bei etwa 3,4. $\exp(x)$ $x=0$

Was ist mein Missverständnis?

numerical-analysis stability runge-kutta

— Brian Zatapatique
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Die Aussage von van der Houwen ist richtig, aber keine Aussage über alle Runge-Kutta-Methoden fünfter Ordnung. Die "Taylor-Polynome", auf die er sich bezieht, sind (wie Sie zu wissen scheinen) nur die Polynome des Grades , die sich annähern , um zu ordnen : $p$ $\exp(z)$ $p$

P_{p} (z) = \sum_{j = 1}^{p} \frac{z^{j}}{j!}

$P_p(z) = \sum_{j=1}^p \frac{z^j}{j!}$

Für das Polynom fünfter Ordnung zeigt sich, dass für kleines , so dass der Stabilitätsbereich einer Methode mit als Stabilitätspolynom keine Umgebung des Ursprungs enthält auf der imaginären Achse . Genau das sagt van der Houwen. $|P_5(i\epsilon)|>1$ $\epsilon$ $P_5(z)$

Die wahrscheinlichste Ursache für Ihre Verwirrung ist, was mit "der Runge-Kutta-Methode fünfter Ordnung" gemeint ist. Es gibt (unendlich) viele Runge-Kutta-Methoden fünfter Ordnung, aber die bekanntesten haben nicht als Stabilitätspolynom. Warum? Wie John Butcher bekanntermaßen bewiesen hat , muss eine Runge-Kutta-Methode fünfter Ordnung mindestens sechs Stufen haben . Normalerweise hat das Stabilitätspolynom einer Methode mit sechs (oder mehr) Stufen den Grad sechs (oder mehr). Beispielsweise verwendet jede der auf dieser Wikipedia-Seite aufgelisteten Methoden fünfter Ordnung genau sechs Stufen und weist ein Stabilitätspolynom vom Grad sechs auf. $P_5(z)$

Kann eine Methode fünfter Ordnung als Stabilitätspolynom haben? Ja; Dies würde eine explizite Extrapolationsmethode fünfter Ordnung (wie die in diesem Artikel beschriebenen bekannten ) tun. Es ist auch zu beachten, dass eine stufige Runge-Kutta-Methode mit dem Stabilitätspolynom für lineare ODEs eine Genauigkeit von 5 aufweist, jedoch nicht für nichtlineare ODEs. $P_5(z)$ $p$ $P_5(z)$

Schließlich ist es leicht, Fehler bei der Bestimmung des Umfangs des imaginären Stabilitätsintervalls für Runge-Kutta-Methoden höherer Ordnung zu machen. Dies liegt daran, dass die Grenze des Stabilitätsbereichs für solche Verfahren extrem nahe an der imaginären Achse liegt . Daher können Rundungsfehler zu falschen Schlussfolgerungen führen. Es sollten nur exakte Berechnungen verwendet werden (natürlich könnte die Relevanz der Stabilitätsbereichsgrenze für praktische Zwecke unter diesen Umständen mit Sicherheit diskutiert werden).

Zum Beispiel ist hier eine Darstellung des Stabilitätsbereichs der Methode fünfter Ordnung aus dem Fehlberg 5 (4) -Paar: Fehlberg-Stabilitätsregion

Das imaginäre Stabilitätsintervall ist leer, aber Sie können es bei dieser Auflösung nicht aus dem Bild erkennen! Es ist zu beachten, dass der Bereich eindeutig einen Teil der imaginären Achse enthält, jedoch keinen Abstand zum Ursprung.

In der Zwischenzeit ist hier der Plot für die Methode fünfter Ordnung aus dem Dormand-Prince 5 (4) -Paar:

DP5 Stabilitätsbereich

Es hat ein imaginäres Stabilitätsintervall von ungefähr . $[-1,1]$

Für eine genaue Charakterisierung der Stabilitätsbereichsgrenze in der Nähe der imaginären Achse für (was ziemlich faszinierend ist!) Siehe meinen kürzlich erschienenen Aufsatz . $P_p(z)$

Sie könnten auch an dem NodePy-Paket interessiert sein , mit dem die obigen Darstellungen erstellt wurden und mit dem beispielsweise das imaginäre Stabilitätsintervall einer Methode genau bestimmt werden kann (Haftungsausschluss: Ich habe NodePy erstellt).

— David Ketcheson
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David, danke für deine hervorragende Antwort, die ein paar Dinge geklärt hat. Ich reise für ein paar Tage ohne Zugang. Ich wollte Ihre Antwort nicht so hängen lassen; Ich werde darauf zurückkommen.

— Brian Zatapatique