Ist die Aufnahmemethode die einzige allgemeine numerische Methode zur Lösung nichtlinearer Randwert-ODEs?

Während meiner Wanderung in Mathematica.se bemerkte ich allmählich, dass eine bestimmte Art von Problem der Lösung von Differentialgleichungen uns ständig "beunruhigt", dh das Randwertproblem (BVP) nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODEs).

Die Aufnahmemethode , die von der Mathematica- Funktion verwendet wirdNDSolve , scheint die einzige Methode zu sein, die Benutzer von Mathematica.SE kennen. Manchmal funktioniert es gut , aber in einigen Fällen (nach meinem persönlichen Gefühl) ist es schmerzhaft , eine richtige erste Vermutung zu finden .

In diesem Fall kann häufig keine richtige Vermutung gefunden werden. Hier ist ein Beispiel , das mich veranlasst hat, diese Frage zu stellen.

So dreht Methode die einzige allgemeine numerische Verfahren für BVP von nichtlinearen Differentialgleichungen zu lösen ?

Wenn ja, gibt es einen guten Weg, um eine richtige erste Vermutung zu erhalten?

Wenn nicht, was ist die Alternative? Wenn möglich, geben Sie bitte eine Einführung oder Links für vorhandene Löser, die diese Alternativen implementieren.

Ist die Aufnahmemethode die einzige allgemeine numerische Methode zur Lösung des BVP nichtlinearer ODE (s)?

Nein.

Die meisten anderen Methoden bestehen aus drei Teilen:

1. Diskretisierung . Dies kann mit endlichen Differenzen, endlichen Volumina, finiten Elementen (Galerkin oder Kollokation), spektralen Methoden usw. erfolgen. Dies reduziert das Problem von einem unendlichdimensionalen auf ein endlichdimensionales System nichtlinearer algebraischer Gleichungen.
2. Ein nichtlinearer Löser . Normalerweise handelt es sich hierbei um eine Newton-Methode. Dies bedeutet, dass Sie das Problem lokal linearisieren und ein Update berechnen. Dies reduziert das Problem auf eine Folge linearer algebraischer Systeme.
3. Ein linearer Löser .

Im Gegensatz zum Schießen lassen sich diese Methoden leicht auf elliptische Probleme in höheren Dimensionen verallgemeinern. Wenn Sie ein Einführungsbuch über numerische Methoden lesen, finden Sie eine Beschreibung einer solchen Methode. Für einen vorhandenen Löser siehe z bvp4c. B. MATLABs .

Diese Methoden erfordern noch eine erste Vermutung. Gute anfängliche Vermutungen basieren normalerweise auf Einsichten, die für das Problem spezifisch sind. Ich glaube, es gibt keine allgemeine Technik, um gute erste Vermutungen für beliebige BVPs zu finden. Sie sollten bedenken, dass nichtlineare BVPs mehrere Lösungen haben können und welche Sie erhalten, hängt von Ihrer anfänglichen Vermutung ab.

Nein ist es nicht. Es gibt auch

• Mehrfachschießen
• Kollokation
• endliche Unterschiede
• Festpunktiterationen

und wahrscheinlich noch mehr.