Vorschläge für ein numerisches Integral über die Pólya-Verteilung

Dieses Problem ergibt sich aus einem Bayes'schen statistischen Modellierungsprojekt. Um mit meinem Modell rechnen zu können, muss ich eine Integration durchführen, bei der ein Teil des Integranden die "Pólya" - oder "Dirichlet-Multinomial" -Verteilung ist.

p (n ∣ α) = \frac{(N!) Γ (K α)}{Γ (α)^{K} Γ (N + K α)} \prod_{i = 1}^{K} \frac{Γ (n_{i} + α)}{n_{i}!}

$p(n\mid \alpha) = \frac{(N!) \Gamma(K\alpha)}{\Gamma(\alpha)^K \Gamma ( N + K\alpha)} \prod_{i=1}^K \frac{\Gamma(n_i + \alpha)}{ n_i!}$

wobei und ganze Zahlen sind, und . Das Integral, das ich berechnen möchte, , funktioniert gut für kleine , aber die Quadraturmethoden, die ich versucht habe (in MATLAB), brechen nach unten, wenn groß wird. Ich habe Monte Carlo nicht ausprobiert. Eine genaue, schnelle Quadraturmethode wäre für mein Projekt sehr schön. $n_i$ $N = \sum_{i=1}^K n_i$ $n = \left(n_1, n_2, \dots, n_K\right)$ $\alpha > 0$ $\int_0^\infty (\text{other terms})p(n|\alpha) d\alpha$ $N$ $N$

Derzeit besteht die "beste" Methode, wenn groß ist, darin, über ein Gitter in Alpha zu berechnen , zu normalisieren und zu potenzieren. Dies ist ungenau (ich verliere im Wesentlichen alle Details über die Verteilung mit Ausnahme ihrer Peaks), erzeugt aber zumindest eine Zahl. $N$ $\log[p(n|\alpha)]$

Ich würde mich über Ratschläge zur Verbesserung dieser Berechnung oder über Hinweise auf verschiedene Algorithmen / Methoden oder vorhandene Software freuen.

EDIT: Ich sollte vielleicht hinzufügen, dass meine Bewertung von , durchgeführt durch Berechnen mit einigen sorgfältig geschriebenen Code zu berechnen für große , scheint keine Probleme zu verursachen. $p(n|\alpha)$ $\log p(n|\alpha)$ $\log \Gamma(x)$ $x$

EDIT 2: Zusätzlich würden "große" Werte in der Größenordnung von , wobei das größte zusammen mit vielen kleinen Werten von . Die anderen Begriffe verhalten sich numerisch gut. Als Vereinfachung mit ungefähr dem entsprechenden Schwanzverhalten könnten Sie nehmen $N\sim 10^8$ $n_i\sim 10^5$ $n_i$

$(\text{other terms}) = \exp(-\alpha)$

quadrature

— ja
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Können Sie ein typisches / konkretes Beispielintegral geben? Geben Sie beispielsweise Werte für n_i, N, a und die (anderen Begriffe) an?

— Andrew Moylan

Mit Sicherheit werde ich!

— Ja,

@sydeulissie: hast du das problem gelöst (da du kein typisches beispiel gepostet hast)?

— GertVdE

This is inaccurate (I lose essentially all detail about the distribution except its peaks), but at least produces a number.

Ich verstehe nicht, warum dies ein Problem sein sollte. Das Ergebnis eines Bayes'schen Ansatzes wird immer von den Spitzen dominiert (denken Sie an Ockhams Rasiermesser). Lokale Merkmale geben Ihnen einen vernachlässigbaren Beitrag zu den endgültigen Wahrscheinlichkeiten.

— Bort

-1

Verwenden Sie für die Integration eine Gaußsche Quadraturregel, wenn Sie Exponentiale als Faustregel verwenden. Beispielsweise benötigt die Integration einer kubischen Funktion über einen kleinen Bereich mit der Simpsons-Regel oder der Trapezregel kein großes N, aber die Verwendung für eine Exponentialfunktion führt zu einem großen N, das zur Erzielung der Konvergenz erforderlich ist. Entscheiden Sie sich also immer für einen exponentiell basierten Interpolanten (dh: Gaußsche Quadraturregel). Wenn dies fehlschlägt, müssen Sie die Funktion zeichnen, um zu sehen, wie schnell sie oszilliert und wie sie mit dem Integrationsbereich stirbt / steigt.

— Eamonn Kenny
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