Warum ist die Form der finiten Elemente wichtig?

Ich benutze FEA seit ein paar Jahren, aber es richtig zu benutzen und es richtig zu benutzen, sind zwei verschiedene Dinge. Der Sicherheitsfaktor ist nicht die Lösung für alles. Ich habe das Gefühl, ich werde es nicht richtig verwenden, wenn ich keine klare Antwort auf diese Frage habe:

Ich bin mir bewusst, dass Elemente nahe an ihrer idealen Form sein müssen (nur basierend auf dem Jacobi?), Um genaue Ergebnisse zu erhalten. Aber warum? Da ich verstehe, dass es von einer Koordinatentransformation stammt, sollten die Ergebnisse nicht genau sein, unabhängig von ihrer Form, es sei denn, zwei Vektoren des Elements werden kolinear.

Eine schrittweise Antwort anhand eines illustrierten Beispiels (willkürliche Spannungsverteilung) wäre ideal, insbesondere da es sich um eine relativ häufige Frage handelt (die jedoch nach dem, was ich gesehen habe, nie gut beantwortet wurde).

Eine gute Einführung in die Frage, wie Probleme der Elementform die Qualität und die einfache Lösung von Bildern beeinflussen, ist Jon Shewchuks "Was ist ein gutes lineares finites Element? Interpolation, Konditionierung, Anisotropie und Qualitätsmessungen".

http://www.cs.berkeley.edu/~jrs/papers/elemj.pdf

Sie haben Recht, der Jacobi wäre invertierbar, wenn Sie keine kolinearen / koplanaren Elemente haben, dh entartete Elemente. Dies ist jedoch der Fall, wenn Sie eine genaue Arithmetik haben. In echten FEM-Programmen verwenden Sie Gleitkomma-Arithmetik, und dann können Sie Jacobi haben, die nahezu Null sind. Wahrscheinlich können Sie diese oder Matrix immer noch invertieren , aber der Fehler wird sich in Ihrem gesamten Modell ansammeln. Endlich ... eine schlecht konditionierte Matrix bekommen.3 × $2\times2$$3\times3$