Periodische Greensche Funktionen in Integralgleichungsmethoden in verschiedenen Frequenzbereichen

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Ich frage nach der Lösung der Helmholtz-Gleichung in einem periodischen Bereich mit stückweise konstanter Wellengeschwindigkeit in verschiedenen Frequenzbereichen. Ein möglicher Ansatz zur Lösung dieses Problems besteht darin, Integralgleichungen auf die Grenzflächen in Bezug auf die Greensche Funktion des Systems aufzuschreiben. Da die Domäne periodisch ist, ist dies eine periodische Greensche Funktion wie wobei ein Gittervektor ist und so etwas wie Meine Frage betrifft, wie sich die Rechenkosten dieser Methode mit der Häufigkeit (

G (r, r^{'}) = \sum_{L} G_{0} (r, r^{'} + L)

$G(r,r') = \sum_L G_0(r,r'+L)$

L

$L$

G_{0}

$G_0$

G_{0} (r, r^{'}) = \frac{e^{i k (r - r^{'})}}{| r - r^{'} |}

$G_0(r,r') = \frac{e^{ik(r-r')}}{|r-r'|}$

k

$k$ ). Wird es bei niedrigen oder hohen Frequenzen rechnerisch schwieriger, weil mehr Terme in die Gittersumme aufgenommen werden müssen?

Bearbeiten : Die Leute scheinen andere Fragen zu beantworten als die, die ich stelle. Ich sollte klarstellen, dass ich nicht daran interessiert bin, eine solche Methode zu implementieren. Ich frage nur nach den theoretischen Schwierigkeiten als Hintergrund für das Verständnis der Stärken und (mehr) Schwächen der Methode in verschiedenen Frequenzbereichen. Die Art von Problemen, an die ich denke, sind (mehr oder weniger) Berechnungsmodi von periodischen Anordnungen von Wellenleitern.

integral-equations helmholtz-equation

— Victor Liu
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Die Zerfallseigenschaften der Greenschen Funktion hängen unter anderem von den Koeffizienten in Ihren Gleichungen ab. Beispielsweise transportieren niederdimensionale Wellenleiter normalerweise Informationen über große Entfernungen, und Sie müssen möglicherweise viele Begriffe addieren, um eine gute Genauigkeit zu erzielen.

Alternativen sind das Schreiben der Green'schen Funktion als Summe von Sinus und Cosinus, die bereits die periodischen Randbedingungen erfüllen, oder als Summe von Eigenfunktionen des Operators.

— Wolfgang Bangerth
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Obwohl ich dies selbst nie implementiert habe, ist die konventionelle Weisheit, die ich gehört habe, dass die räumliche Summierung sehr langsam konvergiert und es vorzuziehen ist, die Ewald-Transformation zu verwenden, z. B. http://w3.uniroma1.it/lovat/giampiero/Documentipdf/IJ24 .pdf

Bei IEEE-Transaktionen gibt es wahrscheinlich jede Menge Papiere zu diesem Thema.

— rchilton1980
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