Grundlegende Erklärung der Formfunktion

Ich habe gerade angefangen, FEM auf einer strukturierteren Basis zu studieren, als ich es in meinen Grundstudiengängen getan habe. Ich mache das, weil ich trotz der Tatsache, dass ich die "FEM" in kommerzieller (und anderer nicht-kommerzieller) Software verwenden kann, die Untertagetechniken, die die Methode unterstützen, wirklich verstehen möchte. Deshalb komme ich hierher mit einer solchen, zumindest für den erfahrenen Anwender der Technik, grundlegenden Frage.

Jetzt lese ich ein (meiner Meinung nach) recht populäres und "ingenieurfreundliches" Buch mit dem Titel "Finite-Elemente-Methode - Die Grundlagen" von Zienkwicz. Ich habe dieses Buch von der ersten Seite an gelesen, aber ich kann das Konzept der Formfunktion noch nicht so verstehen, wie Zienkwicz es erklärt.

Was ich aus den Dingen, die ich gelesen habe, weiß, ist, dass eine "Steifheitsmatrix", die die Unbekannten mit dem Ergebnis verknüpft ( $A$ in: $Ak=b$ ), ihre Komponenten aus den "Beziehungen zwischen den Knoten" hat. , und wenn sich diese "Beziehung" ändert (dh wenn wir sie in eine Interpolante höherer Ordnung ändern), ändert sich diese Steifheitsmatrix, weil sich die Beziehung zwischen den Knoten ändert.

Aber in diesem Buch ist die Definition für mich ziemlich unklar, denn irgendwann heißt es, dass Sie die Funktion willkürlich als die Identitätsmatrix auswählen können:

Die einzige Erklärung, die ich gefunden habe, ist in diesem Blog , aber es ist mir immer noch nicht so klar. Also kann mir jemand eine einfache Erklärung geben, was eine Formfunktion ist und wie man sie in die Steifheitsmatrix "einsetzt"?

Ich habe immer den Ansatz gefunden, Finite-Elemente-Methoden zu beschreiben, die sich auf das diskrete lineare System konzentrieren und unnötig verwirrend rückwärts arbeiten. Es ist viel klarer, in die andere Richtung zu gehen, auch wenn dies am Anfang ein wenig mathematische Notation erfordert (was ich versuchen werde, auf ein Minimum zu beschränken).

Angenommen, Sie versuchen, eine Gleichung für gegebenes f und unbekanntes u u h ∈ V h zu lösen, die A u h = f erfüllt . Dies ist immer noch unendlichdimensionale aufgrund der Entfernungsraum (die wir der Einfachheit halber annehmen werde sein V als auch), so dass wir nur für die Rest fragen A u h - f ∈ V bis orthogonal zu V h - oder äquivalent , das . Wenn wir jetzt das schreiben u $A u = f$$f$$u$ , wobei ein linearer Operator ist, der Funktionen (z. B. die Verschiebung an jedem Punkt ( x , y ) in einer Domäne) in einem Raum abbildet V zu Funktionen in einem anderen Raum (z. B. Beschreibung der angewendeten Kräfte). Da der Funktionsraum V in der Regel unendlich dimensioniert ist, kann dieses System nicht numerisch gelöst werden. Der Standardansatz besteht daher darin, V durch einen endlichdimensionalen Unterraum V h zu ersetzen und zu suchen$A$$(x,y)$$V$$V$$V$$V_h$$u_h \in V_h$$Au_h = f$$V$$Au_h-f\in V$$V_h$für jeden Basisvektor v h in V h v T h ( A u h - f ) = $v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$$u_h$als lineare kombination dieser basisvektoren verbleibt ein lineares system für die unbekannten koeffizienten in dieser kombination. (Die Begriffe sind genau die Einträge der Steifheitsmatrix K i j , und v T j f sind die Einträge des Lastvektors. Wenn A ein Differentialoperator ist, führt man gewöhnlich irgendwann eine Integration durch Teile durch , aber das ist hier nicht wichtig.)$v_i^TAu_j$$K_{ij}$$v_j^Tf$$A$

$V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$). Weiterhin werden die Basisfunktionen so gewählt, dass sie nur in (der Nachbarschaft von) einem der Elemente ungleich Null sind. Der Sinn dieser Wahl ist , dass Sie eine solche Grundlage aufbauen können von der Suche nach einer Basis ziemlich leicht { ψ $V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$$\psi_j$$1$$0$

$V_h$

Bei der technischen Herangehensweise an FEM in Structural Mechanics, wie es dargestellt wird, verliert man das Gefühl, partielle Differentialgleichungen zu lösen .

Sie zeigen Ihnen diese Matrizen, sie weisen Ihnen eine physikalische Bedeutung zu, und meiner Meinung nach führt dies dazu, dass Sie eine zweifelhafte physikalische Intuition für das Feld entwickeln.

Es kann hilfreich sein, über das Thema Geometrie nachzudenken. Die Lösung eines Randwertproblems für PDE ist eine Form. VI. Arnol hatte einmal gesagt, dass er Newtons Errungenschaften auf diesem Gebiet lobte, um es zu paraphrasieren - er tat etwas Wunderbares, indem er das Feld der Differentialgleichungen schuf, indem er es uns ermöglichte, die Probleme der Naturwissenschaften in geometrische Probleme von Kurven in Ebenen und Flächen im Raum umzuformulieren.

In FEM approximieren Sie die Lösung (in FD und FVM approximieren Sie die maßgebliche Gleichung).

Boris Gligorievich Galerkin tritt auf. Was hat BG Galerkin gesagt?

Er sagte: „ Ich möchte, dass Sie nicht mit denselben Basisfunktionen Residuen erstellen können, sondern die Lösung erstellt haben. "

(PS Diese Geschichte ist völlig falsch und ich fordere meine Leser auf, eine bessere Erklärung für die (Bubnov-) Galerkin-Methode zu finden, falls sie existiert.)

Basisfunktionen oder Testfunktionen sind diejenigen, die Sie zum Erstellen der Lösung verwenden. Sie verwenden sie, um die Form der Lösung zu approximieren.

$Ku=f$

FEM ist, wenn Sie Stück für Stück die Form der Lösungsfunktion approximieren. In jedem Teil - dem Element - gibt es einige Grundformen (Formfunktionen), die eine gewisse Flexibilität aufweisen und verschiedene Lösungen approximieren können - aber nur eine ist die Lösung für Ihr Problem. Es gibt Formfunktionen genauso wie Knoten. Die i-te Formfunktion ist gleich eins im i-ten Knoten, in anderen Knoten ist sie Null. Lösen$Ku=f$

Das Wichtigste, was Sie über "Formfunktionen" wissen sollten, ist, dass sie beschreiben, wie sich die abhängigen Variablen, die Sie berechnen möchten (z. B. Verschiebung), in Abhängigkeit von den Raumkoordinaten des Elements (z. B. x und y) in Bezug auf ändern einige unbekannte skalare Parameter.

Oft sind die Formfunktionen einfache Polynome und die skalaren Parameter sind die Werte der abhängigen Variablen an den Elementknoten.

Das Bilden der Finite-Elemente-Gleichungen unter Verwendung dieser Formfunktionen erfordert einige andere grundlegende Konzepte, z. B. das Erstellen einer "schwachen Form" der zu lösenden partiellen Differentialgleichung.

Es gibt eine Menge unnötiger "Mystik", die mit der Finite-Elemente-Methode verbunden ist, daher empfehle ich Ihren Ansatz, ein gründliches Verständnis der Grundlagen zu erlangen.

Meine Einstellung ist in Vorlesung 4 unter http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html . Insbesondere erhalten Sie eine Vorstellung davon, warum wir die Hutfunktionen auswählen, die wir normalerweise verwenden, wenn wir die Finite-Elemente-Methode verwenden - nämlich weil sie zu dem wichtigen Konzept der Sparsity führen, obwohl viele andere Auswahlmöglichkeiten für Basisfunktionen bestanden hätten gleichermaßen gültig.

Jedem Element ist ein Verschiebungsmodell zugeordnet, das die Variation der Feldvariablen (abhängigen Variablen) in Form von verallgemeinerten Koeffizienten und unabhängigen Variablen (x, y, z) ausdrückt, z Element u (x) = a0 + a1x + a3x ^ 2 für ein quadratisches Element mit drei Knoten und so weiter. Hier sind ai s die verallgemeinerten Koeffizienten. Dann eliminieren wir ai s und drücken die Variation der Feldvariablen in Formfunktionen und Knotenwerten der Feldvariablen aus. Beispiel: u (x) = N1 u1 + N2 u2 Die Funktion, die die Variation der Feldvariablen mit dem Knotenwert der Feldvariablen in Beziehung setzt, wird als "FORMFUNKTION" bezeichnet. Die Anzahl der Formfunktionen hängt von der Anzahl der Knoten und der Anzahl der Variablen pro Knoten ab. Die Formfunktionen können daher als Funktionen angesehen werden. die den Beitrag jedes Knotenwertes an internen Punkten des Elements bezeichnen. Für ein Element mit zwei Knoten Am Knoten 1 ist der Beitrag von N1 Eins und der von N2 Null.

Am Knoten 2 ist der Beitrag von N2 Eins und der von N1 ist Null.

In der Mitte des Elements haben beide Knoten die gleiche Gewichtung oder den gleichen Einfluss. Formfunktionen geben also nicht nur an, wie sich die Feldvariable über das Element ändert, sondern auch, welchen Einfluss jeder Knotenwert der Feldvariablen an den internen Punkten des Elements hat. Viel Spaß beim Lernen :)

Ich habe auch die Formfunktionen hier ausführlicher erklärt: http://stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-explained-for.html

Es erklärt Schritt für Schritt auf visuelle Weise, wie die Rayleigh-Ritz-Methode funktioniert. Das Schreiben dieses Artikels hat mir schließlich geholfen, die Formfunktionen zu verstehen.

Nach meinem Verständnis sind Formfunktionen nichts anderes als die Beziehung zwischen Feldvariablen und den Knotenpunkten.

Angenommen, unsere Erde wird mit externen Lasten unter Druck gesetzt und unsere Erde wird zerbrechen. Mit analytischen Methoden verwenden wir viele Formeln und stellen fest, dass die Erde an einigen Stellen (wie zum Beispiel auf dem asiatischen Kontinent) zu knacken beginnt. Mit der FEM-Methode unterteilen wir die Erde in verschiedene Länder, Staaten und Städte, vernetzen jede Stadt und verbinden schließlich alle Städte zu einem Globus, der Erde genannt wird. Shape Functions ist der Schlüssel, der eine Brücke zwischen den vermaschten Städten bildet, um einen Staat, ein Land und schließlich einen Globus zu bilden. Es ist die Verbindung, die das Netz verbindet. Sobald dies erledigt ist, wird eine Last angelegt und es kann die genaue Stelle gefunden werden, an der der Riss beginnt und die verstärkt werden kann.

hoffe das hat dir geholfen

Was ich unter Formfunktionen verstehe, ist, dass es darum geht, die geometrischen Knotenkoordinaten mit der Elementverschiebung mit derselben Formfunktion zu verbinden.

Betrachten Sie einen 1D-Fall. Ein Balken mit 2 Knoten endet.

Wenn ich dieses Element mit seinen Knotenkoordinaten verbinde, kann ich mit Hilfe der Interpolationsfunktion die Verschiebung an jedem Punkt in diesem Element ermitteln.

Im Grunde genommen sind Formfunktionen also die Näherungen, die wir machen, um Deformationen an jedem Punkt im Raum auf lobenswerte Weise zu finden.

Formfunktionen sind die Funktionen, die die Verschiebung an einem beliebigen Punkt des Elements mit der Verschiebung der Knoten des Elements in Beziehung setzen. Ein Diagramm der Formfunktion gegen Punkte auf dem Element zeigt die deformierte "Form" des Elements und daher die Namensformfunktion.