Optimale Lage des Massenschwerpunkts für ein umgekehrtes Pendel

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Ich baue ein umgekehrtes Pendel, das von Gleichstrommotoren gesteuert werden soll, aber ich bin auf ein Rätsel gestoßen. Persönliche Lebenserfahrung sagt mir, dass es besser ist, einen niedrigeren Schwerpunkt zu haben, um das Gleichgewicht aufrechtzuerhalten. Andererseits ist es umso einfacher, das Gleichgewicht aufrechtzuerhalten, je größer das Trägheitsmoment ist (z. B. je höher der Schwerpunkt).

Diese beiden Ansichten erscheinen plausibel und doch widersprüchlich. Gibt es für ein umgekehrtes Pendel ein optimales Gleichgewicht zwischen den beiden Perspektiven? Oder ist einer absolut richtig, während der andere absolut falsch ist? Wenn einer falsch liegt, wo liegt dann der Fehler in meinem Denken?

dynamics balance

— Paul
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Die beiden Ansichten sind nicht widersprüchlich; Sie gelten für zwei verschiedene Situationen, die Sie als eine einzige behandeln.

Ihre persönliche Erfahrung mit einem niedrigen Schwerpunkt gilt für Situationen, in denen eine stabile Position vorliegt - eine lokale Mindesthöhe für den Schwerpunkt. Wenn Sie beispielsweise eine Vase in einem Regal haben, bestimmt die Höhe des Massenschwerpunkts der Vase (im Verhältnis zur Breite ihrer Basis), wie weit sie von einer Seite zur anderen wackeln kann, ohne umzukippen. Hier gezeigt mit Lastwagen:

Das Wackeln einer Vase repräsentiert die Tendenz des Massenschwerpunkts der Vase, zu dieser lokalen Mindesthöhe zurückzukehren. Wenn es zu weit umkippt, findet der Schwerpunkt eine andere (und unerwünschte) Mindesthöhe.

Die umgekehrte Pendelsituation hat keine "stabile" Position - kein lokales Minimum für den Schwerpunkt. Dies sollte nicht überraschen, da es auf einem einzigen Punkt beruht.

Im Vasenbeispiel wirkt sich die Höhe des Massenschwerpunkts der Vase darauf aus, wie lange es dauern wird, bis diese Bewegung abgeschlossen ist. Im Fall des umgekehrten Pendels wirkt sich dies darauf aus, wie viel Zeit Sie benötigen, um dieses unerwünschte Ergebnis zu korrigieren.

Wenn also eine davon die "absolut falsche" Art ist, ein umgekehrtes Pendel zu betrachten, dann ist es die Situation "in einer stabilen Position ruhen".

— Ian
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Niedrigere Zentren der Masse sind mehr stabil, aber ein umgekehrtes Pendel ist von Natur aus instabil; Jede Störung wird es auslösen.

Die Höhe zum Schwerpunkt hängt davon ab, wie viel Spur Ihnen zur Verfügung steht, wie schnell Sie reagieren, wie Sie Verschiebung / Kraft messen usw.

:BEARBEITEN:

Um auf meine obige Aussage einzugehen, sagen wir, Sie schätzen die Pendelposition anhand der Reaktionskraft auf den Schlitten, wo die Kraft auf den Schlitten ist

{F.}_{Reaktion} = (m G) L. Sünde θ

$F_{\mbox{reaction}} = (mg)L\sin{\theta}$

Wenn in diesem Fall die Reaktionskraft konstant ist (sagen wir, Sie bewerten die minimal nachweisbare Kraft), nimmt der mit dieser Kraft verbundene Winkel mit der Pendellänge ab $L$ erhöht sich.

Wenn Sie einen Dreh- / Winkelgeber mit einem minimalen erkennbaren Winkel haben, nimmt die Reaktionskraft, die auf Ihren Schlitten wirkt, mit zunehmender Pendellänge ebenfalls zu.

Berücksichtigen Sie zusätzlich zu den minimal nachweisbaren Fällen die kinetische Energie des Pendels. Dies ist ein invertiertes Pendel, daher ist der Teil der potentiellen Energie, der in kinetische Energie umgewandelt wird, gegeben durch:

KE = {SPORT}_{Initiale} - - {SPORT}_{Finale} KE = m G L. - - m G L. \cos θ KE = (m G) * L. (1 - - \cos θ)

$\mbox{KE} = \mbox{PE}_{\mbox{initial}} - \mbox{PE}_{\mbox{final}} \\ \mbox{KE} = mgL - mgL\cos{\theta} \\ \mbox{KE} = (mg)*L(1-\cos{\theta}) \\$

(All dies setzt voraus $\theta=0$ wenn das Pendel übrigens vertikal ist, nur für den Fall, dass es Verwirrung gibt)

Also auch hier für eine Konstante $\theta$ Je länger die Pendellänge ist, desto mehr kinetische Energie hat das Pendel. Unter der Annahme, dass Sie erneut den minimal nachweisbaren Fall in Betracht ziehen, bedeutet dies, dass das System umso mehr kinetische Energie hat, je länger die Pendellänge ist, bevor Sie die Möglichkeit haben, zu reagieren .

Also jetzt zusätzlich zu der Tatsache, dass Sie mehr Spur durchqueren ( $\Delta x = L\sin{\theta} \approx L\theta$ ) hat das Pendel auch eine höhere kinetische Startenergie, was bedeutet, dass Sie jetzt eine größere Steueraktion ausführen müssen, um die Bewegung zu dämpfen und in den stationären Zustand zurückzukehren.

Also zusammenfassend:

Wenn Sie den Winkel des Pendels direkt messen, wird eine kürzere Pendellänge bevorzugt, da dadurch die kinetische Energie des Pendels minimiert wird, wenn Sie eine Bewegung erfassen.
Wenn Sie den Winkel des Pendels durch Messen der Reaktionskraft auf den Schlitten schätzen, wird eine längere Pendellänge bevorzugt, da dies einem kleineren Winkel entspricht, was wiederum einer niedrigeren kinetischen Anfangsenergie entspricht.

Ich habe eine kurze Tabelle erstellt, um einige Diagramme zu erstellen, in denen die Unterschiede dargestellt werden:

— Chuck
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Ein niedrigerer Schwerpunkt macht es also schwieriger, sich vom Gleichgewicht zu entfernen (vorausgesetzt, Sie haben bereits dort angefangen), aber ein höherer Schwerpunkt erleichtert es, wieder ins Gleichgewicht zurückzukehren?

— Paul

Auch die Abhängigkeit der optimalen CoM-Höhe von der Reaktionszeit und der Verfügbarkeit der Spur ist sinnvoll. Was meinen Sie jedoch, wenn Sie sagen, dass dies auch davon abhängt, wie Sie Verschiebung / Kraft usw. messen? Könnten Sie das etwas näher erläutern?

— Paul

@ Paul - Bitte sehen Sie meine aktualisierte Antwort. Entschuldigen Sie die Kürze in der ersten Antwort. Es war spät und ich war auf meinem Handy.

— Chuck

Wenn ich den Winkel mit einem Beschleunigungsmesser messe, in welche Kategorie würde dies fallen? Direkter Winkel oder Reaktionskraft?

— Paul

Ich weiß nicht, wo Ihr Beschleunigungsmesser ist. oben und ich würde Winkel sagen, auf dem Wagen und ich würde Kraft sagen.

— Chuck

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Sie können dies beantworten, indem Sie die Bewegungsgleichungen eines umgekehrten Pendels betrachten:

\ddot{Θ} = \frac{G}{l} Sünde (Θ)

$\ddot{\Theta} = \frac{g}{l} \sin(\Theta)$

Wenn Sie damit einverstanden sind, dass das am einfachsten zu steuernde System das kleinste ist $\ddot \Theta$ Damit Sie dies kompensieren können, haben Sie drei Möglichkeiten:

Kontrollieren Sie das Pendel auf dem Mond, um es abzusenken $g$
Halten Sie das Pendel in der Nähe $\Theta = 0$ , weil $\sin(\Theta) \rightarrow \Theta$ für kleine Werte von $\Theta$ .
Machen $l$ so groß wie möglich. $l$ ist der Abstand zum Schwerpunkt entlang der Verbindung.

— SteveO
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Dies ist zwar eine gute physikalisch-zentrierte Antwort, ignoriert jedoch alle Rückkopplungsaspekte dieses Problems. Dies ist die Bewegung, aber wenn sie driftet und das System versucht zu kompensieren, wird es schwieriger, die Position zu korrigieren, je weiter Sie von der Vertikalen entfernt sind. Aus Sicht des Feedbacks möchten Sie, dass die Masse des Pendels so gering wie möglich ist (und CM in der Nähe des Drehpunkts hilft ebenfalls)

— MechanicalMan

Oppenheim hat ein großartiges Buch Signals and Systems geschrieben. Schauen Sie sich von hier aus 26.13 und 26.14 an: ocw.mit.edu/resources/res-6-007-signals-and-systems-spring-2011/… Dieses Beispiel enthält eine proportionale und abgeleitete Steuerung und zeigt, dass der Abstand der Pole von Der Ursprung der s-Ebene variiert indirekt mit

l

$l$ . Ich ignoriere praktische Aspekte wie Impedanzanpassung, Reaktionsgeschwindigkeit des Controllers usw., aber ich denke nicht, dass das Hinzufügen von Feedback ohne eine dieser Einschränkungen meine Antwort ändert.

— SteveO

Interessant. Ich werde das auf jeden Fall lesen. Vielleicht sollten Sie Ihre Antwort so bearbeiten, dass sie den Kontrollaspekt Ihrer Antwort enthält. Ich vermute, das ist es, wonach Ian wirklich sucht, nicht nur eine physikalische Antwort (das wollte ich mit meinem ersten Kommentar vermitteln)

— MechanicalMan

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Da Ihre Steuereingabe in das System nur auf den Wagen wirkt, können Sie den Pendelwinkel nur aufgrund der Kopplung zwischen der Wagenbewegung und der Pendelbewegung beeinflussen. Wenn Sie das Pendel CG am Drehpunkt platzieren, gibt es keine Kopplung zwischen dem Wagen und dem Pendel, und der Pendelwinkel ist nicht mehr steuerbar. Dies kann durch Überprüfen der Steuerbarkeitsmatrix des Systems überprüft werden.

Auf dem Papier mit einer Nicht-Null $l$ ist gut genug - das System ist steuerbar, sobald sich der Schwerpunkt nicht auf der Schwenkachse befindet. In der Praxis müssen Sie jedoch in der Lage sein, den Pendelwinkel zu steuern, wenn eine angemessene Kraft auf den Wagen ausgeübt wird (was angemessen ist, hängt von Ihren Vorlieben und Ihrem Budget ab). Wenn das Pendel vertikal ist ( $\theta$ = 0) ist die Pendelbeschleunigung proportional zur Wagenbeschleunigung:

\ddot{θ} ich = - - \ddot{x} m l

$\ddot{\theta} I = -\ddot{x} m l$

Wenn Ihr Ziel nur darin besteht, das Pendel zu stabilisieren, kann es wünschenswert sein, ein großes zu haben $m l$ und eine kleine $I$ - damit Ihre Steuereingänge den Pendelwinkel direkter beeinflussen. Wenn Sie Einschränkungen hinsichtlich Kraft (und Leistung), Wagenverschiebung usw. haben oder wenn Sie andere Ziele haben, müssen Sie diese Parameter möglicherweise anders auswählen.

Wie in anderen Antworten ausgeführt, sind einige Systeme stabiler, wenn der Schwerpunkt niedriger ist. Ein umgekehrtes Pendel ist jedoch instabil (oder für $\theta = 0$ , geringfügig stabil) für alle (Nicht-Null-) Werte von $l$ Diese Theorie trifft also nicht zu. Im Allgemeinen ist es wünschenswert, eine große zu haben $l$ und Klein $I$ weil es die Steuerung des Pendels erleichtert.

— Kerry
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