"Zeitvariable" und "nichtautonome" dynamische Systeme und ihre Lyapunov-Analyse

Ist es möglich, die Eigenschaften "zeitvariabel" und "nichtautonom" in dynamischen Systemen hinsichtlich der Lyapunov-Stabilitätsanalyse zu unterscheiden?

Macht es einen Unterschied, ob das System aufgrund eines zeitlich variierenden Parameters explizit von oder indirekt von abhängt ?$t$$t$

Ich möchte das Problem im Detail erklären:

Es sei ein dynamisches System mit der Bezeichnung mit dem Zustand . Wir sagen, dass ein dynamisches System nicht autonom ist, wenn die Dynamik von der Zeit abhängt , dh$\dot x = f$$x$$f$$t$

$$\dot x = f(t,x).$$

Zum Beispiel sind die Systeme und nicht autonom. Sei ein begrenzter zeitvariabler Parameter, dh und streng positiv, dh .

$$\dot x = - t x^2$$ $$\dot x = -a(t)x,$$ $a(t)$$||a(t)||<a^+$$a(t) > 0$

Insbesondere wird das zweite Beispiel eher als zeitvariables lineares System bezeichnet, aber es ist natürlich nicht autonom.

Bei der Lyapunov-Stabilitätsanalyse müssen autonome und nichtautonome Systeme stark unterschieden werden, um Aussagen über die Stabilität des Systems zu treffen, und die Lyapunov-Analyse für nichtautonome Systeme ist viel schwieriger.

Und hier stellen sich für mich einige Fragen. Wenn ich die Stabilität des zweiten Beispiels analysieren möchte, muss ich die Lyapunov-Theorie wirklich für nichtautonome Systeme verwenden?

Es folgt für den Kandidaten$V = 1/2 x^2$

$$\dot V = -a(t)x^2,$$

das ist negativ definitiv. Ist der Ursprung wirklich asymptotisch stabil, wie ich vermute, oder muss ich in diesem Fall die nichtautome Eigenschaft berücksichtigen?

Ich würde annehmen, dass es einen Unterschied macht, wenn ein System explizit von abhängt wie im ersten Beispiel oder nur indirekt aufgrund eines zeitlich variierenden Parameters, da unendlich geht, ein Parameter jedoch nicht.$t$$t$

Sie haben die Definition von "nichtautonom" falsch. Bitte konsultieren Sie maßgebliche Referenzen zur Kontrolltheorie wie eine von Sastry, Khalil oder Slotine und Li

Hier ist eine kurze Zusammenfassung der Begriffe , die aus dem mathematischen Stapelaustausch kopiert wurden

Ein System ist zeitinvariant, wenn die Systemparameter nicht von der Zeit abhängen

Diese Systeme werden dargestellt durch:

$$\dot x = f(x,u), \dot x = f(x)$$ oder wenn das System linear ist $$\dot x = Ax + Bu, \dot x = Ax$$

Ein System variiert zeitlich, wenn die Systemparameter von der Zeit abhängen

Diese Systeme werden dargestellt durch:

$$\dot x = f(x,u,t)$$ oder $$\dot x = A(t) x + B(t)u$$

Für eine RLC-Schaltung $A(t)$könnte die Matrix darstellen, die zeitlich variierende Kapazität, Induktivität oder Widerstand enthält. In ähnlicher Weise gilt für ein Masse-Feder-Dämpfer-System:$A(t)$könnte zeitlich veränderliche Dämpfung, Reibung und Masse darstellen. Natürlich variieren alle realen Systeme zeitlich, wenn auch in der Größenordnung von Stunden, Jahren oder sogar Jahrtausenden.

Ein (zeitinvariantes) System ist bei der Eingabe autonom$u$ ist eine Funktion des Staates:

Diese Systeme werden dargestellt durch:

$$\dot x = f(x,u(x)) = f(x)$$ oder $$\dot x = Ax + Bu(x) = (A-BK)x$$ Angenommen, wir verwenden Feedback $u = -Kx$. Alle staatlichen Rückmeldesysteme sind aufgrund Ihrer Eingabe autonom$u$ ist eine Funktion Ihres Staates.

Und Sie haben es vielleicht erraten, ein (zeitinvariantes) nicht autonomes System ist, wenn Ihre Eingabe keine Funktion des Staates ist

Diese Systeme werden dargestellt durch:

$$\dot x = f(x,u)$$ oder $$\dot x = Ax + Bu$$

Zum Beispiel, $u$ könnte die Bestrahlung der Sonne sein, die auf ein Solarpanel trifft, wo als $x$kapselt die Zustände des Solarpanels. Das Solarpanel wird weder den Sonnenschein noch die Sonne oder die Wolke, die die Sonne passiert, beeinflussen.

Für Ihre Frage können Sie (höchstwahrscheinlich) * die für Ihr System vorgeschlagene Lyapunov-Funktion nicht verwenden, nämlich:

Verwenden von

$$V(x) = \dfrac{1}{2}x^2$$

Herkunftsstabilität nachweisen für

$$\dot x = -a(t)x$$

Weil Ihr System zeitvariable Parameter hat. Es ist autonom und zeitlich unterschiedlich.

Was Sie tun müssen, ist, eine zeitvariable Lyapunov-Funktion zu konstruieren. Dabei werden Sie feststellen, dass eine Lyapunov-Funktion () beschreibend sein soll usw. Diese sind nicht Teil der klassischen Lyapunov-Theorie, die sich mit Zeit befasst -variantes, autonomes System. Ihre beste Referenz ist der kontrolltheoretische Text von Slotine und Li.

• Hinweis: Ich bin mit zeitlich variierenden Lyapunov-Funktionen nicht so vertraut

Es gibt keinen Unterschied zwischen den beiden von Ihnen genannten Typen. Tatsächlich besteht mein Problem darin, zu verstehen, warum Sie sie in Ihrem Kopf unterscheiden können (ehrlich gesagt verstehe ich das nicht, tut mir leid), da es keinen mathematischen Unterschied zwischen ihnen gibt.

Zwar können nichtautonome Systeme durch Hinzufügen einiger Variablen (einiger Gleichungen) autonom gemacht werden, aber Sie müssen wissen, was Sie tun, da diese Gleichungen häufig hinzugefügt werden (dies muss nicht der Fall sein) $t'=1$ die Art der Stabilität ändert sich).